Stereometrie Autor: Mgr. Ji°φ Henzl Polohovß ·loha °eÜenß ve volnΘ rovnob∞₧nΘ projekci, zßsady volnΘho rovnob∞₧nΘho promφtßnφ, vzßjemnß poloha t°φ rovin Jehlan, ku₧el, popis t∞les : pravideln² jehlan, pravideln² Φty°st∞n, komol² jehlan a ku₧el, rotaΦnφ ku₧el a jehlan, vzorce pro objem a povrch jehlanu a ku₧ele Krychle, kvßdr, hranol, vßlec, popis t∞les, vzorce pro objem a povrch Koule a jejφ Φßsti, koule, kulovß plocha, vrchlφk, kulovß v²seΦ, ·seΦ BodovΘ mno₧iny v rovin∞ vyÜet°ovanΘ metodou sou°adnic, charakteristika analytickΘ metody, °eÜenφ konstrukΦnφch ·loh P°φklady Zobrazte °ez roviny MNP kvßdrem A B C D A┤B┤C┤D┤, je-li M vnit°nφ bod hrany CC┤ a platφ 4 CM = CC┤, A je st°ed hrany A┤D┤, P le₧φ na prodlou₧enΘ hran∞ B┤B za bod B a platφ 3BP = BB┤ Je dßna krychle ABCDEFGH, sestrojte °ez krychle rovinou XYZ jestli₧e XÎEA a zßrove≥ platφ, ₧e EX = 4/3EA, y Î BC a zßrove≥ platφ, ₧e BY = 3/4BC, Z Î DH a zßrove≥ platφ, ₧e DZ = HZ Je dßna krychle ABCDEFGH °ez krychle rovinou MNP, jestli₧e MÎAB a zßrove≥ platφ, ₧e BM =3 AM, NÎ FG a zßrove≥ platφ, ₧e FN = GN, PÎ EH a zßrove≥ platφ, ₧e EP = 5/4 EH Je dßn pravideln² Φty°bok² jehlan ABCDV, sestrojte °ez rovinou MNP, je li MÎVB zßrove≥ platφ, ₧e VM = 4/3 VB, N Î BC a zßrove≥ platφ, ₧e 3CN = BN, PÎ DV a zßrove≥ platφ, ₧e 3VP = DP Hrana rotaΦnφho ku₧ele mß od jeho osy odchylku a = 30░, polom∞r podstavy ku₧ele r = 25,5. VypoΦφtejte objem ku₧ele VypoΦφtejte objem pravidelnΘho Φty°bokΘho jehlanu, je-li poboΦnß hrana c = 5, odchylka hrany od podstavy a = 30░ VypoΦφtejte objem rotaΦnφho ku₧ele, je-li v²Üka v =12 cm, povrch ku₧ele : obsahu podstavy je v pom∞ru 18 : 5 Objem pravidelnΘho Φty°bokΘho komolΘho jehlanu je 3848 dm3, v²Üka v = 24 dm, hrana hornφ podstavy je o 7 dm menÜφ ne₧ hrana dolnφ podstavy. VypoΦφtejte obsahy podstav Kolik m3 zeminy je t°eba p°emφstit p°i v²kopu 170 m dlouhΘho vodnφho p°φkopu, jeho₧ pr∙°ez je tvaru rovnoramennΘho lichob∞₧nφku se zßkladnami 80 a 150 cm a v²Ükou 80 cm Dva rotaΦnφ vßlce majφ v²Üky v = 64, v┤ = 27. PlßÜ¥ ka₧dΘho z nich mß t²₧ obsah jako podstava druhΘho vßlce. V jakΘm pom∞ru jsou objemy vßlc∙ Pravideln² Φty°bok² hranol mß objem 192 cm3 . Podstavnß hrana a v²Üka jsou v pom∞ru 1 : 3. UrΦete povrch hranolu DΘlky st∞n ·hlop°φΦek kvßdru jsou v pom∞ru a : b : c. UrΦete rozm∞ry kvßdru, je-li objem 96 cm3 VypoΦφtejte polom∞r koule, jejφ₧ objem je roven souΦtu objem∙ tφ koulφ o polom∞rech 3, 4, 5 dm VypoΦφtejte objem koule, kterou lze opsat rotaΦnφmu ku₧elu o polom∞ru podstavy r a v²Üce v Kulovß vrstva je soum∞rnß podle roviny jdoucφ st°edem koule. Obsah pßsu, kter² tuto vrstvu omezuje se rovnß polovin∞ povrchu koule. Jakou Φßstφ obj. koule je objem vrstvy Kulovß plocha je rozd∞lena rovinou a na dva vrchlφky, jejich₧ obsahy jsou v pom∞ru 2 : 3. UrΦete pom∞r objemu kulov²ch ·seΦφ s podstavou v rovin∞ a UrΦete mno₧inu bod∙ M, kterΘ majφ od bod∙ A[7, -3], B[-2, 1] stejnou vzdßlenost UrΦete mno₧inu bod∙, kterΘ majφ od p°φmky x = 2 stejnou vzdßlenost jako od bodu A[5, 3] UrΦete mno₧inu st°ed∙ kru₧nic, kterΘ se dot²kajφ kru₧nic k1 (S1, r = 7 ), k2 (S2, r = 1 ), kde vzdßlenost (S1 S2) = 4 Je dßna kru₧nice k ( S, r ) a na nφ bod A. UrΦete mno₧inu st°ed∙ t∞tiv kru₧nice veden²ch z bodu A