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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / philosop / tech / 3932 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-06  |  2.6 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.philosophy.tech
  2. Path: sparky!uunet!news.encore.com!csar!foxtail!sdd.hp.com!zaphod.mps.ohio-state.edu!rpi!scott.skidmore.edu!psinntp!psinntp!scylla!daryl
  3. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  4. Subject: Re: QM and Free Will
  5. Message-ID: <1992Nov4.155342.25216@oracorp.com>
  6. Organization: ORA Corporation
  7. Date: Wed, 4 Nov 1992 15:53:42 GMT
  8. Lines: 41
  9.  
  10. The way I understand Penrose, his argument takes the form:
  11.  
  12.      Suppose that human reasoning about arithmetic is captured exactly
  13.      by some formal system T. This means that any statement of
  14.      arithmetic that human mathematicians can come to know is true
  15.      is provable by T, and that T uses only methods of reasoning
  16.      (inference rules, axioms, etc.) that humans believe to be valid.
  17.  
  18.      Then, since the basic mathematical principles humans use are
  19.      simple, clear, and obviously true, we could then study theory T
  20.      and see that it only generates true statements. Therefore, we
  21.      conclude that T is consistent (a false theory can be consistent,
  22.      but a true theory can't be inconsistent). Then, by Godel's
  23.      theorem, we can produce an arithmetic statement G(T) such that
  24.      (1) is true, and (2) cannot be proved by T. Since we have just
  25.      convinced ourselves that G(T) is true, and T cannot prove G(T),
  26.      that implies that T does *not* capture all of our reasoning about
  27.      arithmetic. Contradiction. Therefore, there is no such T.
  28.  
  29. First of all, this argument doesn't show that human reasoning is more
  30. powerful than formal reasoning, at all. It shows that human reasoning
  31. is more powerful than any formal reasoning that we can see is clearly
  32. valid. Penrose' argument cannot be used, for instance, to show that NF
  33. (Quine's New Foundations, an alternative set theory) fails to capture
  34. all of human reasoning about arithmetic. We could get to the
  35. construction of G(NF), the Godel statement for NF, and then we would
  36. be stuck; if NF is consistent, then G(NF) is true but unprovable from
  37. NF, but we are (so far, anyway) unable to prove that NF is consistent.
  38. So while NF may be unable to prove G(NF), neither can we.
  39.  
  40. Therefore, Penrose' claim is reduced from the boast "Human reasoning
  41. is more powerful than any consistent formal system" to the much more
  42. modest "Human reasoning is more powerful than any system that human
  43. reasoning can prove is consistent". This modest claim is just as true
  44. if you replace "human reasoning" by "reasoning within PA" or
  45. "reasoning within ZFC", or any other formal system. Not a very
  46. convincing argument that human reasoning is not algorithmic.
  47.  
  48. Daryl McCullough
  49. ORA Corp.
  50. Ithaca, NY
  51.