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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14892 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-13  |  2.8 KB
  1. Xref: sparky sci.math:14892 sci.physics:18804
  2. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  3. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  4. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  5. Subject: Re: Three-sided coin
  6. Message-ID: <1992Nov13.065340.28950@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  7. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  8. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  9. References: <1drt9sINN7hu@darkstar.UCSC.EDU> <11NOV199218361868@utkvx2.utk.edu> <1992Nov12.134111.3793@schaefer.math.wisc.edu>
  10. Date: Fri, 13 Nov 1992 06:53:40 GMT
  11. Lines: 46
  12.  
  13. In article <1992Nov12.134111.3793@schaefer.math.wisc.edu> mueller@schaefer.UUCP (Carl Douglas Mueller) writes:
  14. >Consider the coin as being carved out of a sphere
  15. >(the edges of the top and bottom of the coin are on the surface of the sphere
  16. >and stuff is carved away to leave the coin (two chunks of sphere removed by
  17. >slicing along the faces of the coin -- and a sort of belt which is then 
  18. >removed by slicing along the outer edge of the coin).  The answer is given
  19. >by finding the thickness that makes the surface areas (ON THE SPHERE) of these
  20. >three chunks of sphere equal.  The answer is:
  21. >
  22. >The thickness should be the diameter divided by the square root of 8.
  23. >(That is, the thickness is to be about 35.4% of the diameter.)
  24.  
  25. For this reasoning to be valid the axis of rotation would have to be
  26. uniformly distributed on a sphere enclosing the coin.  Under typical
  27. launching conditions I question whether it is as likely for that axis
  28. to be normal to (the face of) the coin as lying along a specified line
  29. in the plane of the coin.
  30.  
  31. In fact a regular flip should ensure the latter, at least at the moment
  32. of launching.
  33.  
  34. The coin is a gyroscope while in flight, but presumably it can nutate
  35. (its axis precess).  Can a vertical impulse applied to a single point
  36. of a coin lying flat induce nutation?  I'd guess not.  What about two
  37. unequal vertical impulses each applied at a point?  I can't think of an
  38. elementary argument for either side, though I'd sort of guess it
  39. could.
  40.  
  41. ===
  42. To change the topic back to what I vaguely recall to be one of the
  43. earlier questions, namely can you build a fair die with n sides, I just
  44. now recall a paper by our own Joe Keller in I think AMM two or three
  45. years ago on just this topic.  Joe gave a very comprehensive theory of
  46. fair dice.
  47.  
  48. Here's Joe's simplest construction of a fair n-sided die for n >= 5.
  49. Cylindrify (prismify) a regular n-agon.  The n sides have equal
  50. probalities p, and the top and bottom have equal probabilities q.  For
  51. thin enough dice q<p, for thick enough, p<q, whence there exists a
  52. thickness in between where p=q.
  53.  
  54. For 2 <= n <= 4 one can solve the problem for 2n or 3n and take pairs
  55. or triples of sides as denoting the same outcome.  (And for n=4 there
  56. is also the simplex.)
  57. -- 
  58. Vaughan Pratt              A fallacy is worth a thousand steps.
  59.