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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14891 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-13  |  2.4 KB  |  48 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!ames!news.hawaii.edu!uhunix.uhcc.Hawaii.Edu!lady
  3. From: lady@uhunix.uhcc.Hawaii.Edu (Lee Lady)
  4. Subject: Re: Curvature of a Line in Space
  5. Message-ID: <1992Nov13.062155.2710@news.Hawaii.Edu>
  6. Followup-To: sci.math
  7. Summary: The curvature is the rate at which is tangent vector is turning.
  8. Keywords: curvature
  9. Sender: root@news.Hawaii.Edu (News Service)
  10. Nntp-Posting-Host: uhunix.uhcc.hawaii.edu
  11. Organization: University of Hawaii (Mathematics Dept)
  12. References: <1992Oct28.210821.2790@TorreyPinesCA.ncr.com> <1992Nov3.002252.8053@shell.shell.com> <1992Nov5.014717.9834@nas.nasa.gov>
  13. Date: Fri, 13 Nov 1992 06:21:55 GMT
  14. Lines: 32
  15.  
  16. In article <1992Nov5.014717.9834@nas.nasa.gov> asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov) writes:
  17. >    ....    The curvature vector can be defined as the second
  18. >derivative of the position vector *with respect to arclength*.
  19. >Then, the magnitude of this vector is the curvature.
  20. >With respect to an arbitrary parametrization, you will not in general
  21. >get the same thing.
  22.  
  23. More intuitively, the curvature is the rate at which the tangent vector 
  24. is turning as one moves along the curve at a speed of 1.  In other
  25. words, if we take the tangent vector at two values  s  and  s+h  of the
  26. arc length and denote the angle between them by  delta_theta, then the
  27. curvature is the limit of  delta_theta/h  as  h goes to 0.
  28.  
  29. For a curve in the plane, this is easy to see.  In that case, we can let
  30. theta  denote the angle between the unit tangent vector and the
  31. horizontal.  (The unit tangent vector is the first derivative of the
  32. position vector with respect to arc lenth.)  Since the unit tangent
  33. vector has length 1 it then has components  (cos theta, sin theta).   
  34. Differentiating with respect to  s  using the chain rule shows that the
  35. magnitude of its derivative equals the derivative of theta, i.e. the
  36. rate at which the tangent vector is turning.
  37.  
  38. I believe that you can adapt this proof for a curve in three space by
  39. projecting the curve onto its osculating place at the point in question.
  40. Not being a differential geometer, though, I'm not prepared to offer
  41. details of a proof.  
  42.  
  43. --
  44. It is a poor sort of skepticism which merely delights in challenging
  45. those claims which conflict with one's own belief system.  
  46.                                                           --Bogus quote 
  47. lady@uhunix.uhcc.hawaii.edu         lady@uhunix.bitnet
  48.