home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14836 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-12  |  2.4 KB  |  60 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!yktnews!victor
  3. From: victor@watson.ibm.com (Victor Miller)
  4. Subject: Re: Extended Fermat primes
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <VICTOR.92Nov12094523@terse.watson.ibm.com>
  7. In-Reply-To: kasdan@cs.columbia.edu's message of Wed, 11 Nov 1992 21:21:13 GMT
  8. Date: Thu, 12 Nov 1992 14:45:23 GMT
  9. Reply-To: victor@watson.ibm.com
  10. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  11. References: <1992Nov7.172207.17207@husc15.harvard.edu>
  12.     <1992Nov8.004737.13519@Princeton.EDU> <BxKLzE.Bu9@cs.columbia.edu>
  13. Nntp-Posting-Host: terse.watson.ibm.com
  14. Organization: IBM, T.J. Watson Research Center
  15. Lines: 43
  16.  
  17. >>>>> On Wed, 11 Nov 1992 21:21:13 GMT, kasdan@cs.columbia.edu (John Kasdan) said:
  18.  
  19. John> In article <1992Nov8.004737.13519@Princeton.EDU> tao@fine.princeton.edu (Terry Tao) writes:
  20. Terry> 
  21. Terry> ....   And it is highly likely that there are infinitely many primes
  22. Terry> of the form n^4 + 1, n^8 + 1, etc. on the grounds that any polynomial which
  23. Terry> is not factorizable should give infinitely many primes.  (Is there a name
  24. Terry> for this conjecture? if you know it could you email me?)
  25. Terry> 
  26.  
  27. John> I doubt that there is a name for the conjecture in that form, because
  28. John> it is obviously false.  Consider x^2 + x + 2.
  29.  
  30. John, There is actually a conjecture like this.  I don't remember what
  31. it is called in general.  Obviously, it needs to be stated in a
  32. modified form: the polynomial x^2+x+2 is always divisible by 2 at
  33. integer values, so consider (1/2)(x^2+x+2).  The generalization is as
  34. follows:
  35.  
  36. Let (x;n) = x(x-1)...(x-n+1)/n!.  Then show that a polynomial with
  37. rational coefficients takes on integer values at integer values of
  38. it's argument if and only if it is an integral linear combination of
  39. the (x;n).  In your case, your polynomial was: 2 (x;2) + 2(x;1) +
  40. 2(x;0).
  41.  
  42. A more usual conjecture has to do with generalizing arithmetic
  43. progressions:
  44. If f(x) is an irreducible polynomial over Q, with no fixed divisor
  45. (i.e. the gcd of the coefficients in the expansion into (x;j) is 1),
  46. then there are infinitely many primes of the form f(x).
  47.  
  48. Unfortunately, this is unknown for any polynomial above first degree!
  49.  
  50. Terry>     Terry 
  51.  
  52. John> /JK
  53.  
  54. --
  55.         Victor S. Miller
  56.         Bitnet: VICTOR at WATSON
  57.         Internet: victor@watson.ibm.com
  58.         IBM, TJ Watson Research Center
  59.         "Great artists steal; lesser artists borrow" Igor Stravinsky
  60.