home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14663 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  3.1 KB  |  61 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!utcsri!torn!watserv2.uwaterloo.ca!watmath!watcgl!watpix.uwaterloo.ca!awpaeth
  3. From: awpaeth@watpix.uwaterloo.ca (Alan Wm Paeth)
  4. Subject: Re: Mercator Projection
  5. Message-ID: <BxH0uF.CBn@watcgl.uwaterloo.ca>
  6. Sender: news@watcgl.uwaterloo.ca (USENET News System)
  7. Organization: University of Waterloo
  8. References: <a34uTB4w165w@netlink.cts.com> <israel.721212129@unixg.ubc.ca> <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  9. Date: Mon, 9 Nov 1992 22:51:51 GMT
  10. Lines: 49
  11.  
  12. In article <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  13.  
  14.  > [...questions on the derivation and use maps / conformal (complex) maps...]
  15.  
  16. The Mercator projection has no simple geometric analog. Being cylindrical
  17. (meridians/lines of longitude map onto parallel, vertical lines on the chart)
  18. it is often incorrectly assumed to be developed from a sphere and tangent
  19. cylinder model.
  20.  
  21. The mapping function is the integral of the secant, called (in my CRC) the
  22. inverse Gudermannian. Its most common formula is
  23.  
  24.     f(x) = ln (tan (x/2 + Pi/4))
  25.  
  26. The Taylor expansion (about zero) of the function and its inverse have
  27. identical terms, though one contains alternating signs, the other all
  28. positive. This property can be used to explain the Gudermannian's use of
  29. interrelating trigonometric and hyperbolic formulae without the use of
  30. an imaginary unit. (I view the function as the real portion yanked from a
  31. complex analytical function and hence a conformal map). The series are both
  32. odd and resemble arcsin(x) and sin(x) through the cubic term.
  33.  
  34. Conformal maps preserve angle measure (and their handedness). For instance, the
  35. Stereographic map is the image of the complex function f(z) = z^(-1). It is
  36. conformal and by convention has a proper orientation ("up" on the chart is
  37. "north" along the sphere) at its point of projection. But elsewhere, the
  38. ``compass rose'' must be rotated. Because the Mercator projection is
  39. cylindrial, "north" is upwards up along any meridian anywhere on the chart. So
  40. being both conformal and cylindrical are necessary and sufficient to product a
  41. chart on which compass heading may be plotted directly. This was Mercator's
  42. intent in his derivation (not his real name, BTW) and explains the chart's
  43. widespread nautical application.
  44.  
  45. Because of the excessive scale distortions near the pole, transverse or
  46. oblique projections may rotate the pole onto the equator or another arbitrary
  47. position. Transverse Mercator projections have geodetic applications. Oblique
  48. projections may be used to produce long-haul give over-the-pole charts with
  49. little distortion along a select great circle route, though for general
  50. aeronautical use Lambert's (second) conformal conic is more widely used.
  51.  
  52. Most of what I've written above is excerpted from my entry appearing in
  53. _Graphics Gems_ (Academic Press, 1990, Andrew Glassner, ed.), written with the
  54. scientist/mathematician in mind. The volume includes the derivation and
  55. accompanying figures for a number of common charts, including representative
  56. conformal and equal-area varieties.
  57.  
  58.     /Alan Paeth
  59.     Computer Graphics Laboratory
  60.     University of Waterloo
  61.