home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14649 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  3.1 KB  |  75 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!sol.ctr.columbia.edu!shire.math.columbia.edu!dy
  3. From: dy@shire.math.columbia.edu (Deane Yang)
  4. Subject: Re: What's a manifold?
  5. Sender: nobody@ctr.columbia.edu
  6. Organization: Mathematics Department, Columbia University
  7. Date: Mon, 9 Nov 1992 19:34:45 GMT
  8. Message-ID: <1992Nov9.193445.15617@sol.ctr.columbia.edu>
  9. X-Posted-From: shire.math.columbia.edu
  10. NNTP-Posting-Host: sol.ctr.columbia.edu
  11. Lines: 62
  12.  
  13. As a practicing differential geometer, the atlas definition of
  14. a manifold is the most "natural" (in the long run) and the most
  15. useful. Baez has argued for the scheme definition. This, in
  16. general, has proved less useful, except for those doing
  17. algebraic geometry and those doing Alain Connes' noncommutative
  18. differential geometry (These are both very important areas
  19. of current research).
  20.  
  21. The problem in teaching this definition, however, is that I also
  22. believe that when you're introducing a new concept to students,
  23. it's important to be completely precise and unambiguous in
  24. your notation, so that students have less to get confused about.
  25. But all this discussion about atlases and maximal atlases
  26. plus all the indices up and down labelling the open sets and the
  27. coordinates makes for a big mess that obscures the essential
  28. ideas.
  29.  
  30. If I could control how students learn about manifolds from the
  31. start, I think I would follow history (as was described in
  32. an earlier posting). Teach the students about 2-manifolds
  33. and Riemann surfaces first. Riemann surfaces can be motivated
  34. very nicely using complex analysis. Moreover, I think it's
  35. much easier to work with a holomorphic manifold at the start.
  36. Also, since the dimension is 1, there's one less index to
  37. clutter up the notation.
  38. From there, it's not hard to generalize to higher dimensions
  39. and less regularity.
  40.  
  41. I'm teaching an introduction to manifolds course right now.
  42. What I chose to do is to first define the notation of a
  43. "local manifold", which is simply a manifold that is
  44. diffeomorphic to an open set of Euclidean space.
  45. I have emphasized an analogy with abstract linear algebra,
  46. where a vector space is really the same thing as R^n, but
  47. where we've chosen treat all bases on equal footing.
  48. A local manifold is an open set in R^n, where we treat
  49. all possible coordinate systems on equal footing.
  50.  
  51. The advantage I see in doing this is that I only
  52. need one coordinate chart at a time and I don't have
  53. to mess around with covers of charts. I'm now developing
  54. the usual foundations of manifolds in this limited setting.
  55.  
  56. Later, I will observe that local manifolds can be
  57. glued together in the obvious way, and we'll get
  58. the standard notion of a manifold. I'll also
  59. discuss why everything we've done so far generalizes
  60. to manifolds.
  61.  
  62. When teaching the "local theory of manifolds", which is
  63. what is usually done in an introductory course, I always
  64. find myself emphasizing that the notion of a manifold
  65. is in some sense a nonlinear analogue of the notion of
  66. a vector space.
  67.  
  68. The problem with this approach is that it assumes the
  69. students have come to terms with abstract linear algebra.
  70.  
  71. Any suggestions and ideas about what should be taught
  72. in such a course and how the course should be taught
  73. are welcome.
  74.  
  75.