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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13345 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-16  |  2.7 KB
  1. Xref: sparky sci.math:13345 rec.puzzles:6789
  2. Path: sparky!uunet!ogicse!uwm.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!darwin.sura.net!ra!AIC.NRL.Navy.Mil!hoey
  3. From: hoey@AIC.NRL.Navy.Mil (Dan Hoey)
  4. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  5. Subject: Results: Unfolding the tesseract
  6. Message-ID: <9210161857.hoey@aic.nrl.navy.mil>
  7. Date: 16 Oct 92 22:57:12 GMT
  8. Article-I.D.: aic.9210161857.hoey
  9. Sender: usenet@ra.nrl.navy.mil
  10. Followup-To: sci.math
  11. Organization: Naval Research Laboratory, Washington, DC
  12. Lines: 45
  13.  
  14. Back in June, orourke@sophia.smith.edu (Joseph O'Rourke) wrote:
  15.  
  16. >Does anyone know how many distinct unfoldings there are of a
  17. >hypercube (a 4-dim cube)?  I know there are 11 distinct 2-dim
  18. >connected shapes that can result from unfolding a (3-dim) cube
  19. >[Rucker, "The Fourth Dimension" (1984) p.34].
  20.  
  21. Well, Rudy Rucker did pass near the topic, but it was covered in
  22. somewhat more detail in Martin Gardner's _Mathematical_Carnival_
  23. [1975] article on the hypercube.  Gardner mentioned that he posed the
  24. question of many ways there are of unfolding a tesseract to
  25. _Scientific_American_ readers, and he got so many answers he couldn't
  26. decide which (if any) was right.
  27.  
  28. I spent some time this summer counting them.  I organized them and
  29. counted them by hand, and got 253 cases.  Then I reorganized some of
  30. them, and noticed some cases I had missed, and now there were 264.
  31. Then I wrote a program to count them, and came up with 261; I soon
  32. noticed three duplicates in my hand work.  Then I compared the
  33. program's output with my table, case by case, and they matched.  So at
  34. this point I am fairly certain there are exactly 261 ways of unfolding
  35. the surface of a tesseract into an octocube.  (And I am fairly
  36. sympathetic with Garder's readers.)
  37.  
  38. Gardner noted that the eleven hexominoes you get by unfolding the
  39. surface of a cube:
  40.                                                                   x
  41.      xxx    x     xx    x     xx    xx    x     x     xx     x    x
  42.       x    xxx    x     xx   xx     x     x     xx    x     xx   xx
  43.       x     x     x    xx     x    xx    xxx   xx    xx    xx    x
  44.       x     x    xx     x     x     x    x     x     x     x     x
  45.  
  46. cannot be used to tile a rectangle.  I do not know if he tried tiling
  47. with the twenty hexominoes you get if you add the reflections of the
  48. mirror-asymmetric hexominoes and forbid turning them over.
  49.  
  50. As for the 261 octocubes you get from unfolding a tesseract, were we
  51. to build them, it would be infeasible to ``turn them over'' into their
  52. mirror images.  Therefore we would probably prefer to build a
  53. rectangular prism from the 355 octocubes we get by adding mirror
  54. images of the 194 mirror-asymmetric octocubes.  But I have no plans to
  55. check whether that is possible.
  56.  
  57. Dan Hoey
  58. Hoey@AIC.NRL.Navy.Mil
  59.