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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13068 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-12  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!gumby!yale!news.wesleyan.edu!gs.math.wesleyan.edu!omasaveu
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: Topological Question
  4. Message-ID: <omasaveu.3@cardinal.sc107.wesleyan.edu>
  5. From: omasaveu@cardinal.sc107.wesleyan.edu (Oscar E. Masaveu)
  6. Date: Mon, 12 Oct 1992 18:05:50 GMT
  7. References: <1992Oct12.163249.1@vmsa.technion.ac.il>
  8. Organization: Wesleyan University, Middletown, CT USA
  9. Nntp-Posting-Host: gs.math.wesleyan.edu
  10. Lines: 38
  11.  
  12. In article <1992Oct12.163249.1@vmsa.technion.ac.il> chr09tk@vmsa.technion.ac.il writes:
  13.  
  14. >Hello!
  15.  
  16. >Can anyone help me with the folowing topological question:
  17. >Is there a connected and locally connected topological space which is not path
  18. >connected? 
  19. >Is there such a space which is also compact?
  20.  
  21. >Thanks in advance,
  22. >Guy 
  23.  
  24. Here is an example of a compact, connected, locally connected space which is 
  25. not path-connected.
  26.  
  27. Let X = { (x,y) : 0 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq 1 }, give X the order 
  28. topology induced by the lexicographical ordering ( (x,y) < (u,v) iff
  29. x < u, or x = u and y < v ). (This is the so-called lexicographical 
  30. ordering of the unit square.)
  31.  
  32. One shows that X is a complete ordered space and hence is compact. 
  33. Also there are no consecutive points in the order and every (bounded) 
  34. subset of X has a l.u.b. (with regard to the order), hence X is connected,
  35. (the former facts being equivalent to connectivity for ordered spaces).
  36. Since all connected ordered spaces are locally connected, X has the 
  37. properties you want because it cannot be path-connected since any path 
  38. joining (0,0) and (1,1) must be connected and hence, as any connected 
  39. subset of an ordered space, must be connected. But then, this interval must
  40. be all of X. It is not hard to show that X contains uncountably many pairwise
  41. disjoint open sets, (i.e., it is not c.c.c.), so X cannot be the continuous 
  42. image of [0,1] since there is no uncountable collection of pairwise disjoint 
  43. open subsets of [0,1] (because every set in such a collection must contain a 
  44. rational). Now consider what would happen to the pre-images of the 
  45. uncountable collection of pairwise disjoint open subsets of X.  
  46.  
  47. Oscar Masaveu
  48. Wesleyan University
  49. OMasaveu@Eagle.Wesleyan.Edu
  50.