home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12968 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-09  |  2.5 KB
  1. Xref: sparky sci.math:12968 sci.math.num-analysis:2972
  2. Path: sparky!uunet!think.com!rpi!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!math.ksu.edu!deadend
  3. From: bennett@math.ksu.edu (Andy Bennett)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.math.num-analysis
  5. Subject: Re: Poisson kernel
  6. Date: 9 Oct 1992 10:10:41 -0500
  7. Organization: Dept. of Mathematics, Kansas State University
  8. Lines: 37
  9. Distribution: inet
  10. Message-ID: <1b47dhINNs5s@hilbert.math.ksu.edu>
  11. References: <1992Oct9.055416.18772@monu6.cc.monash.edu.au>
  12. NNTP-Posting-Host: hilbert.math.ksu.edu
  13.  
  14. suter@fawlty8.eng.monash.edu.au (Mr D. Suter) writes:
  15. >The Poisson kernel allows one to evaluate a harmonic function
  16. >by knowing its values on a closed curve.
  17. >Can you do similar with a biharmonic function?
  18.  
  19. Yes, you do exactly the same thing. A function in two variables is bi-harmonic
  20. if it is harmonic in each variable separately. So if you fix one variable then
  21. you have an ordinary harmonic function in the other variable and you apply the
  22. ordinary Poisson kernel along the curve defined by the intersection of the
  23. boundary of the region you are interested in with the plane defined by fixing
  24. one variable.
  25.  
  26. More precisely. Let x,y \in R^2 and let \Omega\subset{R^2\times R^2}. If
  27. u(x,y) is biharmonic and (x_0,y_0)\in\Omega then u(x,y_0) is harmonic in
  28. \Omega\intersect\{y=y_0\} and 
  29. u(x_0,y_0)=\int_{\partial\Omega\intersect\{y=y_0\}}u(t,y_0)P_{y_0}(t)dt
  30. where P_{y_0}(t) is the Poisson kernel for the domain \Omega\intersect\{y=y_0\}
  31.  
  32. Obviously, p-harmonic functions are handled similarly. 
  33.  
  34. The main interest here is that we could obviously fix x=x_0 rather than y=y_0
  35. and so the value of u(x_0,y_0) can be determined from either knowledge of the
  36. boundary values along \{y=y_0\} or \{x=x_0\}. So, in contrast to the ordinary
  37. harmonic case, we don't have to know values along the whole boundary to 
  38. determine the biharmonic function (or in pde lingo, the Dirichlet problem is
  39. overdetermined). This raises the question of determining the subsets of the
  40. boundary such that boundary values on those sets uniquely determine a 
  41. biharmonic function. I don't know how much is known here. One easy result is
  42. that for the bidisk, \{|x|<1\}\times\{|y|<1\}, the values along the 
  43. restricted boundary, \{|x|=1\}\times\{y=1\}, determine a unique biharmonic
  44. function.
  45.  
  46. -- 
  47. Andrew G. Bennett         bennett@math.ksu.edu         If you count too
  48. Dept. of Mathematics      Voice: (913) 532-6750        much you turn
  49. Kansas State University   Fax:   (913) 532-7004        purple.  -  SARAH
  50. Manhattan, KS 66502       STRICTLY MY OWN OPINIONS                    
  51.