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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / stat / 1855 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-12  |  1.9 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.math.stat
  2. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!umn.edu!charlie
  3. From: charlie@umnstat.stat.umn.edu (Charles Geyer)
  4. Subject: Re: Simple Proof that c=median minimizes E[ |X-c| ] needed.
  5. Message-ID: <1992Sep13.003011.22499@news2.cis.umn.edu>
  6. Sender: news@news2.cis.umn.edu (Usenet News Administration)
  7. Nntp-Posting-Host: isles.stat.umn.edu
  8. Organization: School of Statistics, University of Minnesota
  9. References: <3SEP199213440863@utkvx2.utk.edu> <1992Sep5.224529.12961@news2.cis.umn.edu>
  10. Date: Sun, 13 Sep 1992 00:30:11 GMT
  11. Lines: 38
  12.  
  13. In article <3SEP199213440863@utkvx2.utk.edu> menees@utkvx2.utk.edu
  14. (Menees, Bill) writes:
  15.  
  16. > I'm a senior math major taking my first p&s course, and this problem
  17. > has come up and it intrigues me.  My prof. has a proof for it, but he said it
  18. > was way over my head.  Does anyone know of a proof suitable for a senior 
  19. > undergrad?  Thanks in advance.
  20.  
  21. In article <1992Sep5.224529.12961@news2.cis.umn.edu> I replied:
  22.  
  23. > Because this might be a homework problem, I won't post a proof right now,
  24. > but there is a one-line proof that requires no calculus and no probability
  25. > beyond the fact that expection is a positive linear operator, ... [and]
  26. > It works for a general probability distribution using the definition that
  27. > c is a median if
  28. >
  29. >   1/2 <= P(c <= X)   and   1/2 <= P(X <= c)
  30. >
  31. > I'll post the proof in a week or so.
  32.  
  33. The promised proof, if anyone is still interested.
  34.  
  35. Suppose c is a median and c < d (the case c > d follows by symmetry).
  36.  
  37.   E{|X - d| - |X - c|} >= (d - c)[P(X <= c) - P(X > c)} >= 0
  38.  
  39. the first inequality following because |x - d| - |x - c| is equal to d - c
  40. for x <= c and greater than - (d - c) elsewhere, and the second inequality
  41. following by the definition of "median".
  42.  
  43. There is a similar proof that the mean minimizes expected squared deviation
  44. -- that shouldn't use any calculus either.
  45.  
  46. -- 
  47. Charles Geyer
  48. School of Statistics
  49. University of Minnesota
  50. charlie@umnstat.stat.umn.edu
  51.