home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / research / 449 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-11  |  2.6 KB  |  80 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  4. Subject: Re: Better than Cauchy-Schwarz
  5. References: <18ltblINN8oq@darkstar.UCSC.EDU>
  6. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  7. Message-ID: <a_rubin.716165042@dn66>
  8. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  9. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  10. Organization: University of Illinois at Urbana
  11. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Date: Thu, 10 Sep 1992 22:44:02 GMT
  14. Keywords: analysis cauchy-schwarz
  15. Lines: 63
  16.  
  17. In <18ltblINN8oq@darkstar.UCSC.EDU> sutin@helios.ucsc.edu (Brian Sutin) writes:
  18.  
  19. >I have a conjecture which I have been unable to find in the library, prove,
  20. >or discover a conterexample:
  21.  
  22. >There exists some constant C > 0 such that for all non-negative functions
  23. >f(x) on [0,inf] which satisfy the inequality
  24.  
  25. >INT{ f(x) x dx } <= C INT{ f(x) dx } ,
  26.  
  27. >the inequality
  28.  
  29. >INT{ f(x) dx }^2 <= INT{ f(x)^2 dx }
  30.  
  31. >also holds.  All integrals are over [0,inf] and converge.
  32.  
  33. Without loss of generality, we can assume INT { f(x) dx } = 1, as all the
  34. inequalities scale.
  35.  
  36. Now we can rewrite the problem as:
  37.  
  38. INT {f(x) dx} = 1
  39. INT {f(x) x dx} = A <= C
  40. implies
  41. min INT {f(x)^2 dx} >= 1
  42.  
  43. As a calculus of variations problem, we can (to find what f has the min
  44. value) write
  45.  
  46. D[INT {f(x)^2 dx} - \lambda INT {f(x) dx} - \mu INT {f(x) x dx},f] =
  47.   INT {2 f(x) df(x) dx} - \lambda INT {df(x) dx} - \mu {df(x) x dx} =
  48.   INT {df(x) (2 f(x) - \lambda - \mu x) dx} >= 0,
  49.  
  50. for any df which is non-negative where f is 0.
  51.  
  52. Hence, f(x) > 0 -> f(x) = 1/2 (\lambda + \mu x)
  53.  
  54. Working over any interval [0,X] where X >= 3A, (to make it likely that
  55. things converge and have limits), we find:
  56.  
  57. f_A(x) = (3A-x) (2/9 A^-2), for 0<=x<=3A, and 0 otherwise.
  58.  
  59. should be the extreme function.
  60.  
  61. Then, INT {f(x)^2 dx} = 4/(9 A)
  62.  
  63. In this case, we can verify directly that, if INT {g(x) dx} = 1, and
  64. INT {g(x) x dx} = A, that
  65.  
  66. INT { g(x)^2 dx} = 
  67. INT {(f_A(x)^2 + 2 f_A(x) (f_A(x) - g(x)) + (f_A(x)-g(x))^2) dx} =
  68. INT {f_A(x)^2 dx} + 2 INT{f_A(x) (f_A(x) - g(x)) dx} + INT {(f_A(x)-g(x))^2) dx} =
  69.      4/(9A)       +   (>= 0 by differencial approx.) +        >= 0
  70.  
  71. Hence, if C>= 9/4, the inequality holds.
  72.  
  73.  
  74. --
  75. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  76. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  77. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  78. My interaction with our news system is unstable; please mail anything important.
  79.  
  80.