home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11232 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-10  |  2.7 KB
  1. Xref: sparky sci.math:11232 sci.physics:14430
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!rutgers!ub!acsu.buffalo.edu!kriman
  3. From: kriman@acsu.buffalo.edu (Alfred M. Kriman)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: What about 3.4 dimension?
  6. Message-ID: <BuDtDq.M6s@acsu.buffalo.edu>
  7. Date: 10 Sep 92 21:37:01 GMT
  8. References: <Sep10.194827.29156@yuma.ACNS.ColoState.EDU>
  9. Sender: nntp@acsu.buffalo.edu
  10. Organization: UB
  11. Lines: 38
  12. Nntp-Posting-Host: lictor.acsu.buffalo.edu
  13.  
  14. In article <Sep10.194827.29156@yuma.ACNS.ColoState.EDU>
  15. be231642@longs.LANCE.ColoState.EDU (Bret Egan) asks:
  16. >Is there any literature about the possibilites of dimensions of real numbers?
  17. >
  18. >R^1.2 or R^pi
  19.  
  20. Yes, literally tons of it.  It arises in at least two ways in physics:
  21. (1) In Renormalization Group (RG) calculations, integrals and sums occur in
  22. which the dimension d is a parameter.  It is common to expand these in Taylor
  23. series in d about the "upper or lower critical dimension." (Which are
  24. integers in every case I know.)  This has even been tried in cases where
  25. d-dependent expressions are not available, with extrapolation schemes that
  26. assume smoothness and use a small number of points in d (small integers).
  27. (2) Hausdorf and other dimensions are defined.  See any book on "fractals"
  28. or by Benoit Mandelbrot.  Although most examples of fractals (noninteger-
  29. dimension geometric objects) are constructed within an embedding space of
  30. integer dimension, this is not required but only convenient.  The general
  31. idea is that the volume V(r) within a ball of radius r varies as r^d in
  32. spaces for which a dimension d can be defined.  Space-filling curves have
  33. Hausdorf dimension equal to the ordinary dimension of the space they fill.
  34. If you imagine space filling curves as being crinkly, then you can imagine
  35. that some curves are of intermediate crinkliness.  These are fractals, and
  36. among these the ones that have a certain degree of homogeneity have a
  37. Hausdorf dimension defined.
  38.    The definition is roughly d = limit as r -> 0 or log(V(r))/log(r).  This
  39. means that the crinkliness must occur at arbitrarily small scales.
  40.    Cases (1) and (2) above are related.  In physical systems near "critical"
  41. transitions described by RG, fractal structures occur.  For example, in 
  42. typical percolation problems, there is a sharp transition as some parameter
  43. (pore size, temperature, whatever the model has) is varied through the
  44. percolation threshold.  Precisely at the percolation threshold, percolation
  45. (diffusion of a mobile species through a random porous medium, roughly)
  46. takes place via a connected region of fractal dimension.
  47.  
  48. Question:
  49.    Do the fact that fractal structures occur in critical systems, and the
  50. fact that continuous-dimension ideas are useful in RG, have some deep
  51. connection?
  52.