home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11139 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-08  |  1.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!comlab.ox.ac.uk!oxuniv!loader
  2. From: loader@vax.oxford.ac.uk
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Partitioning of uncountable sets
  5. Message-ID: <1992Sep8.162939.8744@vax.oxford.ac.uk>
  6. Date: 8 Sep 92 15:29:39 GMT
  7. References: <1992Sep8.182706.90039@vaxc.cc.monash.edu.au>
  8. Organization: Oxford University VAX 6620
  9. Lines: 19
  10.  
  11. In article <1992Sep8.182706.90039@vaxc.cc.monash.edu.au>, kevin@vaxc.cc.monash.edu.au writes:
  12. > A proof that every uncountable set can be partioned into two uncountable
  13. > sets.
  14. > Let X be an uncountable set. Consider the set of ordered pairs, (x,0),(x,1)
  15. > where x is in X. Call this set Y. Then Y is also uncountable, moreover,
  16. > {(x,0) with x in X}=Y(0) and {(x,1) with x in X}=Y(1) are both uncountable.
  17. > But the cardinaltiy of X is the cardinality of Y. Thus, there is a bijection
  18.    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  19. How exactly does one prove this without AC? If I remember correctly,
  20. "for all infinite cardinals a; a = 2a" is independent of ZF (without AC), and
  21. ZF+"2a=a, a infinite" is strictly weaker than ZFC. Of course, the difference
  22. between uncountable and infinite is irrelavant here as ZF proves
  23.     2 . omega = omega
  24.  
  25. > f from Y to X. f(Y(0)) and f(Y(1)) form the desired partition of X.
  26. > The proof is of course easier if one assumes A.C, which I have avoided.
  27. > 
  28. > Love,
  29. > Kevin Davey.
  30.