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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11114 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-08  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!cantaloupe.srv.cs.cmu.edu!GS6.SP.CS.CMU.EDU!jmount
  2. From: jmount+@CS.CMU.EDU (John Mount)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Partitioning of uncountable sets
  5. Message-ID: <Bu9Ksv.G04.2@cs.cmu.edu>
  6. Date: 8 Sep 92 14:41:18 GMT
  7. Article-I.D.: cs.Bu9Ksv.G04.2
  8. References: <1992Sep8.182706.90039@vaxc.cc.monash.edu.au>
  9. Sender: news@cs.cmu.edu (Usenet News System)
  10. Organization: Carnegie Mellon University
  11. Lines: 24
  12. Nntp-Posting-Host: gs6.sp.cs.cmu.edu
  13.  
  14. In article <1992Sep8.182706.90039@vaxc.cc.monash.edu.au>, kevin@vaxc.cc.monash.edu.au writes:
  15. |> A proof that every uncountable set can be partioned into two uncountable
  16. |> sets.
  17. |> Let X be an uncountable set. Consider the set of ordered pairs, (x,0),(x,1)
  18. |> where x is in X. Call this set Y. Then Y is also uncountable, moreover,
  19. |> {(x,0) with x in X}=Y(0) and {(x,1) with x in X}=Y(1) are both uncountable.
  20. |> But the cardinaltiy of X is the cardinality of Y. Thus, there is a bijection
  21. |> f from Y to X. f(Y(0)) and f(Y(1)) form the desired partition of X.
  22. |> The proof is of course easier if one assumes A.C, which I have avoided.
  23. |> 
  24. |> Love,
  25. |> Kevin Davey.
  26.  
  27. This seems correct, and like a good way to prove the theorem, but
  28. are you sure this avoids the axiom of choice?  How do you show
  29. card(X)=card(Y) without using AC?  (In general cardinal comparability
  30. is equivalent to AC.  And the proof I know for the absorption law of
  31. cardinal arithmetic uses AC pretty strongly.)
  32.  
  33. -- 
  34. --- It is kind of strange being in CS theory, given computers really do exist.
  35. John Mount: jmount+@cs.cmu.edu               (412)268-6247
  36. School of Computer Science, Carnegie Mellon University, 
  37. 5000 Forbes Ave., Pittsburgh PA 15213-3891
  38.