home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10839 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-01  |  2.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!mintaka.lcs.mit.edu!zurich.ai.mit.edu!ara
  2. From: ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Beloved Books + Request
  5. Message-ID: <ARA.92Sep2012009@camelot.ai.mit.edu>
  6. Date: 2 Sep 92 06:20:09 GMT
  7. References: <4775@balrog.ctron.com> <1992Aug24.153159.1240@ariel.ec.usf.edu>
  8. Sender: news@mintaka.lcs.mit.edu
  9. Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
  10. Lines: 50
  11. In-Reply-To: mccolm@darwin.math.usf.edu.'s message of 24 Aug 92 15:31:59 GMT
  12.  
  13.  
  14. I have found Shoenfield's book useful sometimes, but also hard to use for
  15. reference. The reason is that he assumes you remember where and when he
  16. introduced his notation for something, even if it is a hundred pages later,
  17. and has no index of notation.
  18.  
  19. One of my favorite books is Sierpinski's Hypothese du continu, which studies
  20. the continuum hypothesis and its consequences and equivalents in analysis.
  21. For example, the continuum hypothesis is equivalent to the following
  22. assertion:
  23.  
  24. There exists a decomposition of the plane into two disjoint subsets A and B
  25. such that the intersection of A with any horizontal line is at most
  26. countable and the intersection of B with any vertical line is at
  27. most countable.
  28.  
  29. Another equivalent is the conjunction of the following two assertions:
  30. (1) every set of cardinality less than the continuum has measure zero
  31. (2) there exists a set of cardinality the continuum whose intersection
  32.     with every set of measure zero is at most countable.
  33.  
  34. Another result in the book, which depends on the continuum hypothesis is 
  35. that there is a permutation of the reals which carries the class of sets of
  36. measure zero bijectively onto the class of sets of first category.
  37. This implies that in the equivalence of CH to (1) and (2) above, one
  38. could replace "measure zero" by "first category". The resulting statement
  39. is also equivalent to CH and the existence of the permutation explains it.
  40. But the existence assumes CH.
  41.  
  42. One of the things people do now is to try to see what happens if one
  43. negates the continuum hypothesis and assumes Martin's axiom. There was
  44. a paper about 15 years ago, I think, which had a table of the results
  45. in Sierpinski's book and summarized the status of each of them if one
  46. replaces CH by -CH+MA.There is a book on Martin's axiom but I don't
  47. know if it deals with this stuff.
  48.  
  49. Although not set theory, the book of Abraham Robinson, Introduction to Model
  50. Theory and the Metamathematics of Algebra, is another favorite of mine. It
  51. is quite sensitive and philosophical, and it is wonderful mathematics.
  52.  
  53. Another one I like very much is Jech's book The Axiom of Choice.
  54.  
  55. The long paper of Scott and Solovay on the independence of the axiom of
  56. choice and the continuum hypothesis using Boolean valued models was also
  57. quite nice. Unfortunately, it never appeared in print and I have been unable
  58. to obtain a copy of it for myself in recent years. Anyone want to send me one?
  59. Yes, I know that other books do it. I want this one.
  60.  
  61. Allan Adler
  62. ara@altdorf.ai.mit.edu
  63.