home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10733 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-31  |  4.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!pmafire!news.dell.com!swrinde!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!usenet.ucs.indiana.edu!newshost.cs.rose-hulman.edu!news
  2. From: goddard@NeXTwork.Rose-Hulman.Edu (Bart Goddard)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Number Theory Problems....
  5. Message-ID: <1992Aug31.153727.20637@cs.rose-hulman.edu>
  6. Date: 31 Aug 92 15:37:27 GMT
  7. Sender: news@cs.rose-hulman.edu (The News Administrator)
  8. Organization: Rose-Hulman Institute of Technology
  9. Lines: 87
  10. Nntp-Posting-Host: g214-1.nextwork.rose-hulman.edu
  11.  
  12.  
  13. I was right!  I awoke this morning after 13 hours of sleep, feeling  
  14. refreshed and nearly recovered from my cold, and, by gum, I do regret  
  15. posting a tirade.  There should be a law about posting under the  
  16. influence of Nyquil.  Anyway, as I said earlier, I have a few more of  
  17. these problems which I have been too fuzzy-headed to do.  Some are  
  18. hard, and I don't see the trick.  Some are easy and I haven't gotten  
  19. around to them yet.  They are book problems.  I am not doing them for a  
  20. grade.  I am doing them for money.  But not very much money.  So, if  
  21. you solve one of these problems, you would be helping me earn money.   
  22. This rings a bit unethical, perhaps, but I don't have qualms about  
  23. running across the hall and asking colleages for help, so maybe this  
  24. isn't much different...?  In any case, I usually treat helpful  
  25. colleages to lunch, so I guess I could mail helpful netters some  
  26. McDonald gift certificates, but I think I might just send cash instead.  
  27.  
  28. So here's the deal.  If you send me a solution to one of the problems  
  29. below, and I like, it I might send you 2 bucks.  Also, I'll post nice  
  30. solutions for the benefit of your ego!  Further, like I said above, I'm  
  31. in a much cheerier mood, and I don't really care if you flame me now.   
  32. ZIPPEDY-DO-DAH!! ZIPPEDY-AY!!  
  33.  
  34. I would like to add that this project was a hugh mistake on my part.   
  35. It has swallowed up every second of free time for the last 15 months of  
  36. my life, and the money isn't really too much, and I just want the darn  
  37. thing finished so I can get on with my life.  Hence, I beg for your  
  38. help here, to do the last few problems.
  39.  
  40. Bart Goddard  goddard@nextwork.rose-hulman.edu
  41.  
  42. The book is Ken Rosen's Elementary Number Theory and Applications,
  43. (Addison-Wesley) 3rd Ed.
  44.  
  45. Problems:  (== means congruent to)
  46.  
  47. 5.2.6 Show that if n= (a^{2p}-1)/(a^{2} - 1) where a in an integer,
  48. a>1, and p ia an odd prime not dividing a(a^{2}-1), then n is a
  49. pseudoprime to the base a. (i.e. a^n == a (mod n).)
  50. Hint:  To establish that a^{n-1} ==1 (mod n), show that 2p | (n-1)
  51. and demonstrate that a^{2p} == 2 (mod n).
  52.  
  53. 5.3.4 Show that if a and m are positive integers with (a,m)=1 and
  54. (a-1,m) =1, then 1+a+a^{2}+ ... + a^{\phi(m)-1} ==0 (mod n).
  55.  
  56. 2.2.24 Let a and b be positive integers and let r_j and q_j be the
  57. remainders and quotients of the steps of the Euclidean algorithm as  
  58. defined in "this section".
  59. a)   find the value of \sum_{j=1}^{n} r_j q_j.
  60.  
  61. b)   find the value of \sum_{j=1}^{n} (r_j)^{2} q_j.
  62.  
  63. 8.6.10 (\lambda(n) is the least universal exponent of n) Show that if c
  64. is a positive integer >1, then the integers 1^c, 2^c,..., (m-1)^c form  
  65. a complete system of residues modulo m if and only if m is square-free  
  66. and (c, \lambda(m)) = 1.
  67.  
  68. 8.6.14 Find all Charmicheal numbers of the form 5pq where p and q are  
  69. primes.
  70.  
  71. 8.6.18  Show that if (a,n) = 1 then q_n(a+nc)==
  72. q_n(a + \lambda(n) c a^{-1} (mod n).  (We define q_n(a) ==   
  73. (a^{\lambda(n)}-1/n modulo n, with 0 <= q_n(a) < n.)
  74.  
  75. 9.4.8 (which was 9.4.8 in the second edition) is too complicated for me  
  76. to type (today). It's a double starred problem, and a reference would  
  77. suffice.
  78.  
  79. 10.4.18 Let k be a positive integer.  Show that there are infinitely  
  80. many positive integers D, such that the simple continued fraction  
  81. expansion of \sqrt{D} has a period of length k.  (hint:  Let a_1 = 2
  82. a_2 = 5 and a_k = 2a_{k-1} + a_{k-2}. Show that if D = (ta_k +1)^2 + 
  83. 2a_{k-1} +1, where t is a nonnegative integer, then \sqrt{D} has a  
  84. period of length k+1.)
  85.  
  86. There are some others, which I list by problem # only, since they a  
  87. parts of a series of problems, and the definitions and notations are
  88. hard to extract in a consise form.  
  89. 2.2.12
  90. 2.2.16
  91. 2.2.18
  92. 2.2.22
  93. 5.2.11(b)
  94. 5.3.10
  95. 8.6.16
  96. 8.7.6
  97. 8.7.8
  98. Enjoy!
  99.