home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10734 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-31  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!acorn!eoe!jrickard
  2. From: jrickard@eoe.co.uk (John Rickard)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Elementary solution needed: harmonic bi-sequences
  5. Message-ID: <1388@eouk8.eoe.co.uk>
  6. Date: 31 Aug 92 15:57:25 GMT
  7. References: <1992Aug27.170048.26459@ugle.unit.no>
  8. Organization: EO Europe Limited, Cambridge, UK
  9. Lines: 71
  10. X-Newsreader: Tin 1.1 PL3
  11.  
  12. ap@levangerhs.no (Andrei Prasolov) writes:
  13. : 
  14. :    There is a problem which seems to have a very simple solution.
  15. : I remember that I heard one in my youth. That solution used
  16. : the epsilon-delta language only. However, I cannot recall that.
  17. : 
  18. : DEF. Let`s call a bi-sequence (a(i,j), i,j from Z) HARMONIC if for all i,j
  19. : 
  20. : (*)       a(i,j) = 1/4 (a(i,j+1) + a(i,j-1) + a(i+1,j) + a(i-1,j)).
  21. : 
  22. : PROBLEM. Prove that any bounded (|a(i,j)| < C) harmonic bi-sequence is
  23. : constant.
  24.  
  25. Rewrite (*) as:
  26.  
  27.      a(i,j) = (1/8) a(i,j+1) + (1/8) a(i,j-1) + (1/8) a(i+1,j)
  28.                       + (1/8) a(i-1,j) + (1/2) a(i,j)            (1)
  29.  
  30. By substituting (1) in itself and repeating a number of times we get,
  31. for each N >= 0:
  32.                     (N)
  33.      a(i,j) = sum  B  (m,n) a(i+m,j+n)                           (2)
  34.               m,n
  35.  
  36. where
  37.       (0)
  38.      B  (m,n)  =  (  1,    if m=n=0
  39.                   (  0,    otherwise
  40.  
  41.       (N+1)                (N)                (N)
  42.      B    (m,n)  =  (1/8) B  (m,n+1) + (1/8) B  (m,n-1)
  43.  
  44.                              (N)                (N)
  45.                     + (1/8) B  (m+1,n) + (1/8) B  (m-1,n)
  46.  
  47.                              (N)
  48.                     + (1/2) B  (m,n)                             (3)
  49.  
  50. We have (proofs left as exercise for the reader):
  51.  
  52.                       (N)
  53.      For fixed N, n, B  (m,n) is monotonically increasing for m < 0,
  54.      reaches its maximum at m = 0, and is monotonically decreasing
  55.      for m > 0.  It is 0 for m sufficiently far from 0.          (4)
  56.  
  57.           (N)
  58.      sum B  (0,n) -> 0 as N -> infinity.                         (5)
  59.       n
  60.  
  61. From (2):
  62.                                     (N)        (N)
  63.      | a(0,0) - a(1,0) | = | sum ( B  (m,n) - B  (m-1,n) ) a(m,n) |
  64.                              m,n
  65.                                     (N)        (N)
  66.                          < C sum | B  (m,n) - B  (m-1,n) |       (6)
  67.                              m,n
  68.  
  69. From (4) we have:
  70.  
  71.             (N)        (N)                (N)
  72.      sum | B  (m,n) - B  (m-1,n) |  =  2 B  (0,n)                (7)
  73.       m
  74.  
  75. Combining (6) and (7):
  76.                                     (N)
  77.     | a(0,0) - a(1,0) |  <  2C sum B  (0,n)                      (8)
  78.                                 n
  79.  
  80. By (5), the RHS of (8) tends to 0 as N -> infinity, so a(0,0) and
  81. a(1,0) must be equal.  Similarly any two adjacent values of a(i,j)
  82. must be equal, so a(i,j) is constant.
  83.