home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10732 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-31  |  1.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!news.claremont.edu!ucivax!orion.oac.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: Contents of n-dimensional sphere.
  4. Message-ID: <a_rubin.715274789@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 31 Aug 92 15:26:29 GMT
  7. References: <lee.715264502@dutiag>
  8. Keywords: n-dimensional sphere.
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 40
  11.  
  12. In <lee.715264502@dutiag> lee@dutiag.tudelft.nl (Marcel van der Lee) writes:
  13.  
  14.  
  15. > Hello,
  16.  
  17. >There exists a formula to compute the contents of an n-dimensional sphere.
  18.  
  19. >        pi^(n/2)
  20. >C(n) = ------------- r^n
  21. >        gamma(n/2+1)
  22.  
  23. >Where C denotes the contents, n denotes the dimension and r the radius of 
  24. >the sphere. I am wondering why the gamma function occurs in this formula.
  25. >If you have a proof or a good reference, please post it on Newsnet or send
  26. >it by e-mail to me.
  27. >Thanks.
  28.  
  29.  
  30. It is clear that C(n) == A(n) r^n, where A(n) is a function of n only.
  31.  
  32. Hence:
  33.  
  34. C(n+1) = Integral(s=-r to r, A(n) (r^2-s^2)^(n/2) ds) =
  35.          2 Integral(s=0 to r, A(n) (r^2-s^2)^(n/2) ds) = (substitute s = r t^(1/2))
  36.          2 Integral(t=0 to 1, A(n) r^(n+1) (1-t)^(n/2) 1/2 t^(-1/2) dt) =
  37.          A(n) r^(n+1) Integral(t=0 to 1, t^(-1/2) (1-t)^(n/2) dt) = 
  38.          A(n) r^(n+1) beta(1/2,n/2+1) =
  39.          A(n) r^(n+1) gamma(1/2) gamma(n/2+1) / gamma((n+1)/2+1)
  40.  
  41.              gamma(1/2)^n
  42. so C(n) = K ------------- r^n
  43.              gamma(n/2+1) 
  44.  
  45. C(0) = 1, so K = gamma(1) = 1; and gamma(1/2) = pi^(1/2) (many references,
  46. including the duplication formula), giving the desired result.
  47. --
  48. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  49. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  50. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  51. My interaction with our news system is unstable; if you want to be sure I see a post, mail it.
  52.