home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10609 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-26  |  3.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!comp.vuw.ac.nz!waikato.ac.nz!canterbury.ac.nz!math!wft
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Prime constellations.
  4. Message-ID: <1992Aug27.185156.565@csc.canterbury.ac.nz>
  5. From: wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor)
  6. Date: 27 Aug 92 18:51:55 +1200
  7. Distribution: world
  8. Organization: Department of Mathematics, University of Canterbury
  9. Nntp-Posting-Host: math.canterbury.ac.nz
  10. Lines: 70
  11.  
  12. Some time ago, there was a brief discussion concerning
  13. "prime constellations", that is , a set of N integers
  14.  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~       { 0, a2, a3, ..., aN }    such that
  15.  
  16. { p, p+a2, p+a3, ... p+aN } might all be prime, for infinitely many p.
  17. So that for instance, the TWIN PRIME conjecture concerns constellation { 0, 2 } .
  18.  
  19. The suggestion was made that constellations might have solutions in
  20. primes, for either infinitely many primes "p", or only 0 or 1 such "p".
  21.  
  22. That infinitely-many-primes cases exist, is a famous conjecture,
  23. connected with Hardy, Bateman and others.
  24.  
  25. The suggestion that the only finitely-many-solutions could be achieved for
  26. cases 0 and 1 was soon shot down by many examples,
  27. e.g. the constellation A = { 0, 2, 8, 14, 26 } has 2 solutions
  28.  
  29. A+3 = { 3, 5, 11, 17, 29 }  and
  30. A+5 = { 5, 7, 13, 19, 31},
  31.  
  32. and as A includes all residues [mod 5] there cannot be any further solutions.
  33.  
  34. Chris Long outlined a nice little ad hoc procedure for generating such
  35. 2-solution constellations, and asked for the smallest (in some sense)
  36. constellation that has exactly three solutions.
  37.                        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  38. There seem to have been no further followups.  A pity.
  39.  
  40. To try and resuscitate interest I decided to post my rather boring solution.
  41.  
  42. I extended Chris Long's method to generate a 3-solution constellation.
  43. The smallest possible pre-constellation pattern I could find was
  44.  
  45.  7 13 37 ...     OR      7 31 37 ...
  46. 31 37 61 ...            13 37 43 ...
  47. 37 43 67 ...            37 61 67 ...
  48.  
  49. Either of these can be the start of 3 solutions for a constellation of
  50. cardinality 37, and, provided the 37 entries (on the top line, say)
  51. include every possible number [mod 37], there can be no further solution.
  52. Thus we would get a constellation with *exactly* 3 solutions.
  53.  
  54. As far as I could see, 37 is the smallest possible integer with this property.
  55.                        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  56. So, I then set Maple to work to find the first 34 extra numbers that would
  57. give all primes, in all 3 rows, and cover all 37 residues [mod 37].
  58.  
  59. It found that the left-hand pattern gave the smallest numbers, giving
  60. a constellation A with
  61.                          A+7 =
  62.  
  63. { 7, 13, 37, 43, 59, 73, 79, 83, 107, 127, 149, 167, 199, 233, 239, 283, 359,
  64.  409, 419, 479, 547, 563, 617, 797, 829, 953, 1009, 1039, 1063, 1399, 1429, 1669,
  65.  1723, 1847, 2659, 3583, 3607 }
  66.  
  67. These, and A+31, and A+37  give all primes, and no other A+p can do so.
  68.  
  69. And this is (I think) in sense above, the smallest such example.
  70. ----
  71. Well; I warned you it would be pretty boring !  There is no problem that
  72. I can see with extending the method to get 4-fold solutions, but the numbers
  73. involved are going to be pretty horrific, I would say.
  74.  
  75. It would be nice to see some further action on this thread !
  76.  
  77. Cheers,
  78. --------------------------------------------------------------------------
  79.             Bill Taylor              wft@math.canterbury.ac.nz
  80. --------------------------------------------------------------------------
  81.  
  82.