home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10491 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-21  |  3.3 KB
  1. Xref: sparky sci.math:10491 sci.physics:13264
  2. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  3. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!torn!watserv2.uwaterloo.ca!watserv1!nuntius
  4. From: Deane Yang <yang@fields.waterloo.edu>
  5. Subject: Re: tensors
  6. Message-ID: <BtCLry.EBC@watserv1.uwaterloo.ca>
  7. Sender: news@watserv1.uwaterloo.ca
  8. Organization: The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences
  9. X-Useragent: Nuntius v1.1
  10. References: <1992Aug20.190041.6215@pellns.alleg.edu>
  11.      <5130@tuegate.tue.nl> <5134@tuegate.tue.nl> <3djygrk@rpi.edu>
  12. Date: Fri, 21 Aug 1992 19:21:33 GMT
  13. Lines: 55
  14.  
  15. In article <3djygrk@rpi.edu> Tom Pierce, pierct@rpi.edu writes:
  16. >I know all about 1st and second order tensor, but what's a third order
  17. >tensor look like?  Also, aren't these the same mathematical critters as
  18. >"matrices", witha the added "square" criterion?
  19. >What would you use a third or highr order tensor for?  Any PHYSICAL
  20. >applications?
  21.  
  22. Perhaps it's worth distinguishing between tensors and tensor fields.
  23. A tensor is an algebraic object, living inside a tensor product of
  24. vector spaces. A tensor field is analogous to a vector field.
  25. A tensor field is a function with values inside the tensor product,
  26. just like a vector field is a function taking values in a vector space.
  27. However, we're usually sloppy about this, calling a tensor field a tensor.
  28.  
  29. So a second-order tensor is very much like a matrix,
  30. but a 2nd order tensor field is like a matrix-valued function.
  31.  
  32. But all of this is a gross oversimplification. It turns out in physics
  33. or differential geometry, when you work with vector fields or
  34. tensor fields, you don't want the vector space or the tensor products
  35. to be a single, fixed object. Instead, each point in the domain
  36. has a vector space of its own. The vector spaces have an abstract
  37. intuitive meaning, e.g. "velocity vectors", a.k.a. tangent vectors,
  38. and when coordinates given on the domain, they induce a natural
  39. basis of each vector space. In any case, working all of this out carefully
  40. leads to the notion of tangent bundles, vector bundles, and tensor
  41. bundles.
  42.  
  43. The crucial point of tensor fields is
  44.  that the components of the tensor field depend on the 
  45. coordinates you use. Moreover, when the coordinate change, the components 
  46. change linearly, indicating that they represent objects lying in some
  47. abstract vector space. Understanding the behavior of tensor fields under
  48. coordinate changes is important, because one of the guiding principles of
  49. differential geometry and modern physics is that all invariants or
  50. observable phemomena are invariant under coordinate changes. This
  51. is usually called "invariance under diffeomorphisms" and considered
  52.  a special case of "gauge invariance".
  53.  
  54. It turns out that higher order tensors are important. The easiest way
  55. to see this is that the "derivative" of a k-th order tensor field
  56. is a (k+1)-th order tensor. So the moment you have the desire to 
  57. differentiate a second order tensor, you've got a third order tensor
  58. on your hands.
  59.  
  60. Also, in differential geometry, general relativity, and in gauge theory,
  61. you work with the curvature tensor, which is a fourth order 
  62. tensor.
  63.  
  64. Still another natural class of higher order tensors are differential 
  65. forms, which are the correct objects to use for multiple integrals,
  66. since they encode the change of variable formula, as well as Stoke's
  67. theorem in a both elegant and easily computed form.
  68. Deane Yang
  69. Polytechnic University
  70.