home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10336 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-17  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!wupost!uwm.edu!ogicse!das-news.harvard.edu!das-news!kosowsky
  2. From: kosowsky@minerva.harvard.edu (Jeffrey J. Kosowsky)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help - non-integral power of a matrix?
  5. Message-ID: <KOSOWSKY.92Aug17163140@minerva.harvard.edu>
  6. Date: 17 Aug 92 21:31:40 GMT
  7. Article-I.D.: minerva.KOSOWSKY.92Aug17163140
  8. References: <a_rubin.713653963@dn66> <1992Aug12.231708.3644@galois.mit.edu>
  9.     <KOSOWSKY.92Aug14122403@schottky.harvard.edu>
  10.     <1992Aug14.204404.23279@galois.mit.edu>
  11. Sender: usenet@das.harvard.edu (Network News)
  12. Organization: Harvard Robotics Lab, Harvard University
  13. Lines: 36
  14. In-Reply-To: jbaez@zermelo.mit.edu's message of Fri, 14 Aug 92 20:44:04 GMT
  15.  
  16. In article <1992Aug14.204404.23279@galois.mit.edu> jbaez@zermelo.mit.edu (John C. Baez) writes:
  17.  
  18. >   I'm particularly worried about the non-normal case, of course.  You are
  19. >   right about the holomorphic functional calculus so we are free to say
  20. >   that my series 
  21. >
  22. >   ln A = (A - 1) - (A - 1)^2/2 + ....
  23. >
  24. >   converges when the spectral radius of A - 1 is < 1. If our space is
  25. >   finite-dimensional this just means that all eigenvalues of A have
  26. >   |lambda - 1| < 1.   If A is normal the spectral radius equals the norm
  27. >   so we may equivalently demand ||A - 1|| less than 1.   (In the
  28. >   finite-dim case "normal" just means "diagonalizable".)
  29. >
  30.  
  31. Just for clarification, the two mentions of finite-dimensionality above
  32. can be extended to compact operators on any Banach space. In the
  33. compact infinite dimensional case:
  34.     a] spectrum = closure of set of eigenvalues
  35.               = {eigenvalues} U {0}
  36.      so, it is still sufficient check the size of the eigenvalues
  37.      plus the limit point 0. 
  38.     In the case of the logarithm, 0 does not lie in the radius of
  39.     convergence about 1. So, the Riesz functional calculus won't work
  40.     here. Actually, the Borel functional calculus won't work either
  41.     since the logarithm is not defined at 0.
  42.  
  43.     So, is there any way to define the logarithm of a (compact)
  44.     operator on an infinite dimensional space that avoids this
  45.     problem of 0 being in the spectrum?
  46.  
  47.     b]It is still true that normal iff diagonalizable
  48.     
  49.  
  50.  
  51. Jeff Kosowsky
  52.