home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10213 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-13  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!sun4nl!tuegate.tue.nl!rw7.urc.tue.nl!wsadjw
  2. From: wsadjw@rw7.urc.tue.nl (Jan Willem Nienhuys)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)?
  5. Message-ID: <5043@tuegate.tue.nl>
  6. Date: 13 Aug 92 13:26:23 GMT
  7. References: <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> <1992Aug13.000928.12631@unidus.rz.uni-duesseldorf.de> <1992Aug13.011522.11161@informix.com>
  8. Sender: root@tuegate.tue.nl
  9. Reply-To: wsadjw@urc.tue.nl
  10. Organization: Eindhoven University of Technology, The Netherlands
  11. Lines: 40
  12.  
  13. In article <1992Aug13.011522.11161@informix.com> proberts@informix.com (Paul Roberts) writes:
  14. >>
  15. >>Such mappings exist! To construct a mapping f(x,y) = z  choose a
  16. >>unique decimal representation of x and y and then merge the digits.
  17. >>
  18. >>i.E.:
  19. >>x =  1 0 0 2. 7 1 8 2 8 2 . . . . . .
  20. >>y =   3 0 3 .1 4 1 5 9 3 . . . . . . 
  21. >> 
  22. >>z =  1300032.174118529832............
  23. >>
  24. >>This will be bijective for non-negative real numbers. In order to obtain a
  25. >>bijective mapping R <-> R^2 this has to be combined with a bijection
  26. >>which maps real numbers to non-negative real numbers (right now, I
  27. >>don't remeber by heart how this is done, but it is possible).
  28. >
  29. >I believe that there is even an everywhere-continuous 
  30. >bijective mapping from the unit line to the unit square.
  31.  
  32. Two remarks.  The first mapping was thought up by Cantor, but it is
  33. wrong, because some numbers have two representations.
  34. Trick: exclude representations that end in an infinite sequence of
  35. zeros. Chop these in pieces not of a single digit, but of a sequence
  36. of zeros (possibly of length 0) followed by a single non-zero.
  37. Then mix these.
  38.  
  39. Second remark.  A continuous bijective map from a compact set onto
  40. a compact set has a continuous inverse, i.e. a homeomorphism. The 
  41. unit interval is not homeomorphic to the unit square.
  42.  
  43. Peano constructed a continuous map from the unit interval onto the
  44. unit square (a fractal of dimension 2 actually).  But it is not injective,
  45. it has many double points. At that time people were indeed worried that 
  46. such a map (and then bicontinuous) might be found.  It would destroy
  47. the idea of dimension.  But L.E.J. Brouwer proved around 1910 that
  48. dimension is invariant under homeomorphism, so dimension is a topological
  49. concept.
  50.  
  51. JWN
  52.  
  53.