home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10214 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-13  |  4.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!sol.ctr.columbia.edu!samsung!balrog!web.ctron.com!wilson
  2. From: wilson@web.ctron.com (David Wilson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Strange Constant
  5. Message-ID: <4723@balrog.ctron.com>
  6. Date: 13 Aug 92 14:09:47 GMT
  7. Sender: usenet@balrog.ctron.com
  8. Reply-To: wilson@web.ctron.com (David Wilson)
  9. Organization: Cabletron Systems INc.
  10. Lines: 129
  11. Nntp-Posting-Host: web
  12. Originator: wilson@web
  13.  
  14.  
  15.  
  16. > I have some questions about a constant, I don't know it's name,
  17. > but here's how it is obtained.
  18. > 
  19. >                        1     1     1           1     1
  20. >   <constant> =  lim   --- + --- + --- + ... + --- + --- - ln n
  21. >                n->oo   1     2     3          n-1    n
  22. > 
  23. > <constant> is approximately equal to the following
  24. > 
  25. >   0.577216164900715256180774304084479808807373046875...
  26. > 
  27. > My questions are :
  28. > 
  29. >   1.  What is this constant?
  30. >   2.  Who first obtained it?
  31. >   3.  Why is the way it is?
  32. >   4.  How is it used (If in fact it is used anywhere)?
  33. > 
  34. > Thanks for the information.
  35. > Could you please post a respsonse, mail isn't working at this end.
  36.  
  37.  
  38.     1.  As has been posted, this constant is known as Euler's constant,
  39.         is generally denoted by a lower case gamma, and has the value
  40.  
  41.             0.57721 56649 01532 86060 6512
  42.  
  43.     Euler's constant is hard to approximate by naive methods.  I
  44.     don't know if sophisticated methods are known for its accurate
  45.     computation. 
  46.  
  47.     2.  Euler.
  48.  
  49.     3.  I assume you are asking why the limit approaches a constant
  50.     value.  If f(x) is the greatest integer less than or equal to x,
  51.     we have
  52.  
  53.         f(x) <= x < f(x)+1
  54.  
  55.     If x >= 1, then f(x) >= 1 and
  56.  
  57.         1/(f(x)+1) < 1/x <= 1/(f(x))
  58.  
  59.         ==>  0 < 1/x - 1/(f(x)+1) <= 1/(f(x)) - 1/(f(x)+1)
  60.  
  61.         ==>  0 < 1/x - 1/(f(x)+1) <= 1/(f(x)(f(x)+1))
  62.  
  63.     Letting n be a positive integer, we integrate the above between
  64.     1 and n, getting
  65.  
  66.                          n-1              n-1
  67.         0 <= ln n -  sum  1/(k+1) <=  sum  1/(k(k+1))
  68.             k = 1            k = 1
  69.  
  70.     From here, a few algebraic manipultions bound
  71.  
  72.           n
  73.          sum  1/k - ln n
  74.         k = 1
  75.  
  76.     by a constant on both sides, for sufficient n.  Finally, noting
  77.     that the above expression is monotonically decreasing in n, we
  78.     deduce that a limit exists.
  79.  
  80.     The precise value of that limit is harder to explain.  It
  81.     involves analysis of the digamma function, generally denoted
  82.     by the lowercase greek letter psi, which is the first
  83.     derivative of log of the gamma function.  The important property
  84.     of the digamma function is the recurrence:
  85.  
  86.         digamma(n+1) = digamma(n) + 1/n
  87.  
  88.     From which we deduce that
  89.  
  90.           n
  91.          sum  1/k = digamma(n+1) - digamma(1).
  92.         k = 1
  93.  
  94.     The Euler-Maclaurin sum formula gives us an asymptotic expansion
  95.     for digamma(n) for large n, which is
  96.  
  97.         digamma(n) = ln n + 0(1/n)
  98.  
  99.     That is, digamma(n) approachs ln(n) asymptotically for large n.
  100.     Thus, for large integer n, we have
  101.  
  102.  
  103.           n
  104.          sum  1/k = digamma(n+1) - digamma(1)
  105.         k = 1
  106.         = ln(n+1) + 0(1/n) - digamma(1)
  107.         = (ln(n) + 0(1/n)) + 0(1/n) - digamma(1)
  108.         = ln(n) + 0(1/n) - digamma(1)
  109.  
  110.     And so
  111.  
  112.           n
  113.          sum  1/k - ln(n) = -digamma(1) + 0(1/n)
  114.         k = 1
  115.  
  116.     So that the limit of the left side approaches -digamma(1) as
  117.     n grows without bound.  Playing with the definition of digamma,
  118.     reveals that digamma(1) is the derivative of the gamma function
  119.     at x = 1.  Therefore, Euler's constant is the negative of the
  120.     derivative of the gamma function at x = 1.
  121.  
  122.     4.  Euler's constant shows up in various definite integrals,
  123.         which pop up from time to time, e.g.:
  124.  
  125.                       / inf  -x
  126.             gamma = - |     e   log x dx
  127.                       / 0
  128.  
  129.     gamma pops up from time to time in unexpected places. I would
  130.     go so far as to say that gamma is the third most pervasive
  131.     "transcendental" constant after e (and its clan, such as
  132.     log 2), and pi (and its clan, such as sqrt(2/pi)), although
  133.     it is still unknown whether gamma is transcendental (or
  134.     irrational, for that matter, though you know where my money
  135.     falls.)
  136.  
  137.  
  138. -- 
  139. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  140.  
  141. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  142. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  143.