home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10212 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-13  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!gdt!mapsj
  2. From: mapsj@gdr.bath.ac.uk (Simon Juden)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)?
  5. Message-ID: <1992Aug13.131518.2982@gdr.bath.ac.uk>
  6. Date: 13 Aug 92 13:15:18 GMT
  7. References: <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> <1992Aug13.000928.12631@unidus.rz.uni-duesseldorf.de> <1992Aug13.011522.11161@informix.com>
  8. Organization: School of Mathematics, University of Bath, UK
  9. Lines: 29
  10.  
  11. In article <1992Aug13.011522.11161@informix.com> proberts@informix.com (Paul Roberts) writes:
  12. >In article <1992Aug13.000928.12631@unidus.rz.uni-duesseldorf.de> heisen@convex.rz.uni-duesseldorf.de (Henner Eisen) writes:
  13. >>In article <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> samu@lammio.hut.fi writes:
  14. >>>I have been wondering... It seems first that there are more pairs of
  15. >>>real numbers than real numbers, but is it really so? And if not, I would
  16. >>>like to see a bijective mapping f:R->R^2.     ...
  17. >>
  18. >>Such mappings exist! To construct a mapping f(x,y) = z  choose a
  19. >>unique decimal representation of x and y and then merge the digits.
  20. >>
  21. >>i.E.:
  22. >>x =  1 0 0 2. 7 1 8 2 8 2 . . . . . .
  23. >>y =   3 0 3 .1 4 1 5 9 3 . . . . . . 
  24. >> 
  25. >>z =  1300032.174118529832............
  26. >>
  27. >>This will be bijective for non-negative real numbers. In order to obtain a
  28. >>bijective mapping R <-> R^2 this has to be combined with a bijection
  29. >>which maps real numbers to non-negative real numbers (right now, I
  30. >>don't remeber by heart how this is done, but it is possible).
  31. >
  32. >I believe that there is even an everywhere-continuous 
  33. >bijective mapping from the unit line to the unit square.
  34.  
  35.  
  36. Indeed so - an elementary version of Peano's construction of such may be found
  37. on page 283 of the American Mathematical Monthly, April 1983.
  38.  
  39. Simon
  40.