home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10192 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-12  |  2.3 KB  |  54 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!nevanlinna!jbaez
  3. From: jbaez@nevanlinna.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: Help - non-integral power of a matrix?
  5. Message-ID: <1992Aug12.231708.3644@galois.mit.edu>
  6. Keywords: matrix
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: nevanlinna
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <Aug.10.15.45.34.1992.26563@clam.rutgers.edu> <carle.713599691@vex> <a_rubin.713653963@dn66>
  11. Date: Wed, 12 Aug 92 23:17:08 GMT
  12. Lines: 40
  13.  
  14. In article <a_rubin.713653963@dn66> a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin) writes:
  15. >In <carle.713599691@vex> carle@vex.ugcs.caltech.edu (Matthew Thomas Carle) writes:
  16. >
  17. >>gonzalez@clam.rutgers.edu (Ralph Gonzalez) writes:
  18. >
  19. >
  20. >>>Hi.  Does anyone know of an algorithm to find a non-integral
  21. >>>power of a matrix, e.g. A^.5 or A^1.3? Thus, A^2 is the same
  22. >>>as AxA and A^0 is the identity.
  23. >
  24. >>>I imagine if such a thing is defined, then there are conditions
  25. >>>on A...
  26.  
  27. >log "obviously" converges if all eigenvalues of A are strictly within 1 of 1,
  28.  
  29. To clarify, perhaps, let me add that this is not only "obvious", it's
  30. true, at least if A is diagonalizable.  If A is a
  31. not-necessarily-diagonalizable matrix log A is defined if ||A - 1|| < 1;
  32. I don't think the eigenvalue condition above is sufficient.
  33.  
  34. Gonzalez was interested one-parameter groups of matrices.  Well, that's
  35. not how he phrased it, but he was looking for matrix-valued functions of
  36. t such that A(t)A(s) = A(t+s).  A^t is a nice way to think about these
  37. heuristically but it's sort of a nuisance because fractional powers of
  38. matrices are even more multivalued and branchy than fractional powers of
  39. numbers.  If A is close enough to 1 (as made precise above), there is
  40. a unique "best" definition of log A, namely
  41.  
  42. (A-1) - (A-1)^2/2 + (A-1)^3/3 - ...
  43.  
  44. the usual power series.  One can see that this satisfies exp(log A) = A
  45. and that exp(t log A) is good way of defining A^t, that is, it's a
  46. one-parameter group.
  47.  
  48. In general, though, it is best to specify one-parameter groups by their
  49. generators.  That is, any (continuous) 1-parameter group of matrices is
  50. of the form exp(t C) for some matrix C.  If the 1-parameter group is a
  51. rotations then C is an "infinitesimal rotation" (a skew-adjoint matrix)
  52. and so on... huge amounts of stuff are known about this, so that's how I
  53. would advise Gonzalez to proceed.
  54.