home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10152 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-12  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!wupost!zaphod.mps.ohio-state.edu!uakari.primate.wisc.edu!samsung!balrog!web.ctron.com!wilson
  2. From: wilson@web.ctron.com
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Fundamental Theorems
  5. Message-ID: <4711@balrog.ctron.com>
  6. Date: 12 Aug 92 14:46:42 GMT
  7. Sender: usenet@balrog.ctron.com
  8. Reply-To: wilson@web.ctron.com ()
  9. Organization: Cabletron Systems INc.
  10. Lines: 96
  11. Nntp-Posting-Host: web
  12. Originator: wilson@web
  13.  
  14.  
  15.     My hastily compiled votes on various fundamental theorems:
  16.  
  17.  
  18.     Fundamental Theorem of Geometry:
  19.  
  20.     The Independence of the Parallel Postulate:
  21.  
  22.     The parallel postulate is independent of the axioms of absolute
  23.     geometry.
  24.  
  25.     Try to beat this one for historical importance as well as its 
  26.     bearing on mathematical thought.
  27.  
  28.     Fundamental Theorem of Probability:
  29.  
  30.     The Central Limit Theorem:
  31.  
  32.     The distribution of the mean of a sample drawn from any
  33.     distribution of positive variance tends towards a normal
  34.     distribution as the size of the sample grows large.
  35.  
  36.     Puts the normal distribution in its place.
  37.  
  38.     Fundamental Theorem of Complex Numbers:
  39.  
  40.     The Fundamental Theorem of Algebra:
  41.  
  42.     All roots of a polynomial with complex coefficients are complex.
  43.  
  44.     Complex numbers arose historically as solutions to irreducible
  45.     polynomials over the reals.  That the complex numbers split
  46.     such polynomials, and that no further splitting of complex
  47.     polynomials is necessary, is the trademark of the complex field.
  48.  
  49.     Fundamental Theorem of Linear Algebra:
  50.  
  51.     The Primary Decomposition Theorem:
  52.  
  53.     Given linear operator T on finite dimensional vector space V, V
  54.     may be expressed as the direct sum of invariant subspaces of T.
  55.  
  56.     Fundamental Theorem of Group Theory:
  57.  
  58.     Cayley's Theorem:
  59.  
  60.     Every group is isomorphic to a subgroup of the permutation group
  61.     of some set.
  62.  
  63.     Fundamental Theorem of Statistics:
  64.  
  65.     No Entry.
  66.  
  67.     Fundamental Theorem of Trigonometry:
  68.  
  69.     Euler's Theorem:
  70.  
  71.     exp(x+iy) = exp(x)(cos y + i sin y)
  72.  
  73.     Explains circular functions in terms of the exponential function.
  74.  
  75.     Fundamental Theorem of Set Theory:
  76.  
  77.     No Entry.  (I incline, however, towards elevating Russell's
  78.     paradox to the status of the Fundamental Theorem of Inconsistent
  79.     Set Theory).
  80.  
  81.     Fundamental Theorem of Logic:
  82.  
  83.     Godel's incompleteness theorem:
  84.  
  85.     Any sufficiently rich theory is undecideable.
  86.  
  87.     In short, Principia Mathematica will have to wait.
  88.  
  89.     Fundamental Theorem of Mathematics:
  90.  
  91.     The principle of mathematical induction:
  92.  
  93.     Let P(x) be a proposition about natural number x.  If
  94.         1.  P(0)
  95.         2.  For all x, P(x) ==> P(x+1)
  96.     Then P(x) is true for all numbers.
  97.  
  98.     This principle pervades mathematics.  To understand, appreciate,
  99.     and use mathematical induction is the entry ticket to mathematics.
  100.  
  101.     (Bob Silverman points out that mathematical induction is an
  102.     axiom.  I believe that this makes it no less a theorem).
  103.  
  104.  
  105. -- 
  106. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  107.  
  108. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  109. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  110.