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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10153 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-12  |  1.6 KB  |  48 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!math26647.math.cwru.edu!user
  3. From: mgh3@po.cwru.edu (mike hurley)
  4. Subject: Re: Still another problem.
  5. Message-ID: <mgh3-120892110648@math26647.math.cwru.edu>
  6. Followup-To: sci.math
  7. Sender: news@usenet.ins.cwru.edu
  8. Nntp-Posting-Host: math26647.math.cwru.edu
  9. Organization: case western reserve u
  10. References: <1992Aug11.170858.275@csc.canterbury.ac.nz>
  11. Date: Wed, 12 Aug 92 15:10:12 GMT
  12. Lines:       35
  13.  
  14. In article <1992Aug11.170858.275@csc.canterbury.ac.nz>,
  15. wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) wrote:
  16. > 
  17. > Prove that
  18. > 
  19. >                n     n     n    n
  20. >      1  /     2     3     4    5        \  
  21. >      - |  1 + -- +  --  + -- + -- +....  | 
  22. >      e  \     1!    2!    3!   4!       /   
  23. > 
  24. >   is an integer for all positive integer n.
  25. > 
  26. > ---------------------------------------------------------------------
  27. >       Bill Taylor              wft@math.canterbury.ac.nz 
  28. > ---------------------------------------------------------------------
  29. >               Stamp out silly signatures!
  30. > ---------------------------------------------------------------------
  31.  
  32.  
  33. Let K(n) denote the indicated quantity;
  34. (i.e., K(n) = \sum_{j=0}^{infty} (j+1)^{n}/j!/e )
  35. Then 
  36. K(n+1) = \sum_0^{n+1} B(n+1,m)*K(m-1)
  37. where B(i,j) is the binomial coefficient i over j
  38. and K(-1) is defined to be 1. Since K(0)=1 it follows
  39. that K(n) is integral for every n>=0.
  40.  
  41. The proof goes by expanding (j+1)^n using the binomial
  42. theorem, interchanging the order of summation and 
  43. re-indexing.
  44.  
  45. mike hurley   mgh3@po.cwru.edu
  46. dept of mathematics
  47. case western reserve univ. 44106-7058
  48.