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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / comp / lang / fortran / 4970 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-11  |  1.4 KB  |  45 lines

  1. Newsgroups: comp.lang.fortran
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!spool.mu.edu!darwin.sura.net!gatech!concert!rock!taco!grad09.math.ncsu.edu!kbanerje
  3. From: kbanerje@grad09.math.ncsu.edu (Kaushik Banerjee)
  4. Subject: Re: simultaneous equations...solutions
  5. Message-ID: <1993Jan11.201751.18414@ncsu.edu>
  6. Sender: news@ncsu.edu (USENET News System)
  7. Organization: NCSU Mathematics Dept.
  8. References: <1993Jan10.191952.16384@nuscc.nus.sg> <1993Jan10.211732.24254@ncsu.edu>
  9. Date: Mon, 11 Jan 1993 20:17:51 GMT
  10. Lines: 33
  11.  
  12.  
  13.  
  14. CORRECTION to my previous post:
  15.  
  16. Fact #1
  17.  
  18. An nxn linear system Ax=b has a unique solution if
  19. and only if A is nonsingular.
  20.  
  21. Fact #2
  22.  
  23. An mxn (where m .ne. n) linear system Ax=b has either 
  24. no solution (termed "inconsistent") or an infinite number 
  25. of solutions.
  26.  
  27. Fact #3
  28.  
  29. The best you can do is a "least squares" solution.
  30. Notation: A' = transpose of A
  31.           A^ = inverse of A 
  32.           ||x|| = Euclidean norm of the vector x
  33. Say you want to solve Ax=b where A is nx3
  34. ==> A'Ax = A'b  (these are the "normal equations")
  35.     If the columns of A are linearly independent, then the
  36.     3x3 matrix A'A is nonsingular.
  37. ==> x = (A'A)^A'b, i.e., x is the unique solution to the 
  38.     normal equations and the unique least squares solution
  39.     to Ax=b.
  40.     
  41. Definition of a least squares solution:
  42.  x is least squares solution if and only if
  43.  ||Ax - b|| .le. ||Az - b|| for all other vectors z.
  44.                    ^ ---> NOTE this correction.
  45.