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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17040 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-16  |  4.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!bnr.co.uk!uknet!acorn!armltd!dseal
  2. From: dseal@armltd.co.uk (David Seal)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Marilyn Vos Savant's error?
  5. Message-ID: <10914@armltd.uucp>
  6. Date: 16 Dec 92 17:22:12 GMT
  7. References: <1gj5grINNk05@crcnis1.unl.edu>
  8. Sender: dseal@armltd.uucp
  9. Distribution: sci
  10. Organization: A.R.M. Ltd, Swaffham Bulbeck, Cambs, UK
  11. Lines: 108
  12.  
  13. In article <1gj5grINNk05@crcnis1.unl.edu> burchell@cse.unl.edu (David
  14. Burchell) writes:
  15.  
  16. >I ask the net Gods: Can this be correct??
  17. >
  18. >From ``Ask Marilyn'' by Marilyn Vos Savant, Parade magazine, December
  19. >13, 1992.
  20. >
  21. >You have a hat in which there are three pancakes.  One is golden on
  22. >both sides, one is brown on both sides, and one is golden on one side
  23. >and brown on the other.  You withdraw one pancake and see that one side
  24. >is brown.  What is the probability that the other side is brown?
  25. >
  26. >---Robert H. Batts, Acton, Mass.
  27. >
  28. >It's two out of three.  The pancake you withdrew had to be one of only
  29. >two of them: the brown/golden one or the brown/brown one.  And of the
  30. >three brown sides you could be seeing, two of them also have brown on
  31. >the other side.
  32.  
  33. The usual problem with probability questions comes up yet again... People
  34. almost never state exactly what is being randomised or what the distribution
  35. is, leaving it up to the reader to make assumptions. In this particular
  36. case, you need an assumption about the distribution of the pancake chosen:
  37.  
  38.   Assumption 1: the three pancakes are chosen with probability 1/3 each.
  39.  
  40. and one about which side of the pancake you see:
  41.  
  42.   Assumption 2 - version A: you saw a random side of your pancake, with the
  43.   two sides being chosen with probability 1/2 each.
  44.  
  45.   Assumption 2 - version B: the words "one side is brown" are actually
  46.   intended to mean that you look at both sides and see that at least one
  47.   side is brown (then conveniently forget whether both sides are!).
  48.  
  49.   Assumption 2 - version C: the brown/golden pancake is always placed under
  50.   the hat brown side up. When you pulled your pancake out, you did so by
  51.   sliding it out, in such a way that you were certain to see the top side
  52.   first.
  53.  
  54. Using assumption 1 and assumption 2(A), the stated solution is correct.
  55. There are 6 *equiprobable* possibilities:
  56.  
  57.   Pancake chosen   Side seen   Colour seen
  58.   ----------------------------------------
  59.        B/B          Top            B
  60.        B/B          Bottom         B
  61.        B/G          Top            B
  62.        B/G          Bottom         G
  63.        G/G          Top            G
  64.        G/G          Bottom         G
  65.  
  66. Knowing that we saw a brown side tells us that one of the first three cases
  67. is correct, and gives us no further information. These three cases are
  68. therefore still equiprobable, so the chance that the other side is brown is
  69. 2/3.
  70.  
  71. OTOH, using assumption 1 and assumption 2(B) gives us an answer of 1/2. The
  72. equiprobable cases are now:
  73.  
  74.   Pancake chosen   Side seen   Brown seen?
  75.   ----------------------------------------
  76.        B/B          Both        Yes
  77.        B/G          Both        Yes
  78.        G/G          Both        No
  79.  
  80. Knowing that a brown side has been seen now tells us that we've got one of
  81. the first two cases, which gives a probability of 1/2.
  82.  
  83. Assumption 1 and assumption 2(C) also give an answer of 1/2, since there are
  84. now three equiprobable possibilities:
  85.  
  86.   Pancake chosen   Side seen   Colour seen
  87.   ----------------------------------------
  88.        B/B          Top            B
  89.        B/G          Top            B
  90.        G/G          Top            G
  91.  
  92. The observed facts tell us that only the first two are still possible.
  93.  
  94. Or if you want a silly case, try:
  95.  
  96. Assumption 2, version D: this is just like assumption 2(C), except that the
  97. brown/golden pancake is always placed under the hat golden side up. Now the
  98. possibilities are:
  99.  
  100.   Pancake chosen   Side seen   Colour seen
  101.   ----------------------------------------
  102.        B/B          Top            B
  103.        G/B          Top            G
  104.        G/G          Top            G
  105.  
  106. and the probability wanted is 1, since the observed facts exclude all but
  107. the first possibility. Of course, you don't need to use probability for
  108. this: under these assumptions, you can deduce logically that the other side
  109. of the pancake is brown.
  110.  
  111. So to summarise: the error is really in the problem, in that it doesn't
  112. state important facts about how the "experiment" was set up. There's no real
  113. error with the stated solution, though it would have been nice if the
  114. assumptions being made about the problem were stated explicitly rather than
  115. having to be read between the lines.
  116.  
  117. David Seal
  118. dseal@armltd.co.uk
  119.  
  120. All opinions are mine only...
  121.