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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17013 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-16  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!utcsri!eecg.toronto.edu!leemike
  2. Newsgroups: sci.math
  3. From: leemike@eecg.toronto.edu (Michael Lee)
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Message-ID: <1992Dec16.023520.11420@jarvis.csri.toronto.edu>
  6. Organization: CSRI, University of Toronto
  7. References: <1glr2qINN2vg@usenet.INS.CWRU.Edu> <1glt0lINNquc@news.aero.org>
  8. Date: 16 Dec 92 07:35:20 GMT
  9. Lines: 52
  10.  
  11. In article <1glt0lINNquc@news.aero.org> doner@Aero.org (John Doner) writes:
  12. >In article <1glr2qINN2vg@usenet.INS.CWRU.Edu>, fau@po.CWRU.Edu (Francis A. Uy) writes:
  13. >|> 
  14. >|> I can't believe I forgot the proof of this one.
  15. >|>  Subject line says it all.
  16. >
  17. >First tell us what you want to use for a definition of e.
  18.  
  19. First show that (1 + 1/n)^n <= e <= (1 + 1/n)^(n+1).
  20.                             b
  21.                            |\  
  22. Let Integ[a, b, f(t) dt] = |  f(t) dt
  23.                           \|
  24.                             a
  25. n is a positive Integer.
  26.  
  27. log(1 + 1/n) = Integ[1, 1+1/n, dt/t]
  28.  
  29. Since 1 > 1/t in the interval of t, 
  30.    Integ[1, 1+1/n, dt/t] <= Integ[1, 1+1/n, dt],
  31.    Integ[1, 1+1/n, dt] = 1/n.
  32.  
  33. Since 1/(1+1/n) => 1/t in the interval of t,
  34.    Integ[1, 1+1/n, dt/t] => Integ[1, 1+1/n, dt/(1+1/n)],
  35.    Integ[1, 1+1/n, dt/(1+1/n)] = 1/(1+n).
  36.  
  37. Therefore,
  38.    1/(n+1) <= log(1+1/n) <= 1/n.
  39.  
  40. From the right inequality,
  41.    1 + 1/n <= e^(1/n);
  42. thus,
  43.    (1 + 1/n)^n <= e.
  44. From the left inequality,
  45.    e^(1/(1+n)) <= 1 + 1/n;
  46. thus,
  47.    e <= (1 + 1/n)^(n+1).
  48.  
  49. Therefore,
  50.    (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)
  51.  
  52. Divide the right inequality by 1+1/n,
  53.    e/(1+1/n) <= (1+1/n)^n.
  54. Combine the above with the left inequality
  55.    e/(1+1/n) <= (1+1/n)^n <= e.
  56. As n approaches infinity, e/(1+1/n) -> e.
  57.  
  58. Therefore, using the pinching theorem of limits,
  59.    (1+1/n)^n -> e.
  60.  
  61. regards,
  62.   Michael Lee
  63.