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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17005 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-12-15  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!pmafire!news.dell.com!swrinde!elroy.jpl.nasa.gov!usc!rpi!batcomputer!cornell!rochester!rit!cci632!sjfc!dmc
  2. From: dmc@sjfc.UUCP (Cass Dan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Forcing f(x) to have horizontal asymptote at +infinity
  5. Keywords: none
  6. Message-ID: <2317@sjfc.UUCP>
  7. Date: 16 Dec 92 00:14:25 GMT
  8. Organization: St. John Fisher College, Rochester, NY
  9. Lines: 33
  10.  
  11. The function f(x) = ln(x) has its derivative 1/x approaching
  12. zero as x --> +infinity, yet f(x) itself has no horizontal
  13. asymptote.  Even though the curve gets arbitrarily flat, nonetheless
  14. it never levels out.
  15.  
  16. For comparison, the function f(x) = arctan(x) has its derivative
  17. 1/(1 + x^2) approaching zero as x --> +infinity, but this time
  18. f(x) *does* have an asymptote, namely y=pi/2.
  19.  
  20. My question is: what conditions must be imposed on the derivative
  21. f'(x) of a function f(x) in order to cause it to necessarily have
  22. a horizontal asymptote as x --> +infinity ?
  23.  
  24. Maybe a condition on both f'(x) and f''(x), since the latter is
  25. related to curvature....
  26.  
  27. More formally, can the existence/nonexistence of a horizontal asymptote
  28. for the function f(x) as x --> +infinity be decided in terms of
  29.     a) the values of lim [x --> +infinity] f'(x), f''(x), etc ?
  30.     b) the asymptotic behavior of these derivatives f', f'',
  31.         etc as x --> +infinity ?
  32.  
  33. This question could be thought of as an "at infinity" version of
  34. the fact that, IF f' = 0 for all x, THEN f = constant [true if
  35. f is a smooth function].  What I'm asking is: if we want to conclude
  36. that f(x) --> constant as x --> +infinity, what limiting type 
  37. conditions must we place on the derivatives of f?
  38.  
  39. Respond here or to dmc@sjfc.edu
  40. --Dan Cass
  41.  
  42. /-++#: /-==+ not much of a sig
  43.  
  44.