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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17002 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-15  |  1.9 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!pipex!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Message-ID: <1992Dec16.011040.24722@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <1glr2qINN2vg@usenet.INS.CWRU.Edu>
  10. Date: Wed, 16 Dec 1992 01:10:40 GMT
  11. Lines: 38
  12.  
  13.       First proof
  14.       -----------
  15.  
  16. (1+1/n)^n = sum{r=0..n} of (n choose r)/n^r
  17.           = sum{r=0..n} of n(n-1)...(n-r+1)/n^r.r!
  18.           = sum{r=0..n} of 1(1-1/n)(1-2/n)...(1-(r-1)/n))/r!
  19.  
  20. On the one hand, this is less than 1/0!+1/1!+1/2!+...+1/n!.
  21. On the other hand, the "r-term" is less than 1/r! by a factor of less
  22. than (1-(r-1)/n)^r, which we may easily check (um, induction on r or
  23. something) is at least 1-r(r-1)/n. So, writing m for the integer part
  24. of n^(1/3), the sum is at least (1-1/m)(1/0!+...+1/m!).
  25.  
  26. Both of these expressions tend to e as n tends to infinity. So (1+1/n)^n
  27. is sandwiched between two numbers, both of which are arbitrarily close to
  28. e if n is large enough. So it tends to e,
  29.  
  30. QED.
  31.  
  32.       Second proof
  33.       ------------
  34.  
  35. (Taking the definition log(x)=integral{1..x} of dt/t as fundamental,
  36. so e is defined as the number whose logarithm is 1.)
  37.  
  38. We may show that log(ab)=log(a)+log(b) by splitting the integral into
  39. the ranges 1..a and a..ab, and using substitution on the latter.
  40. It follows that log(a^n)=n.log(a).
  41. Now, log(1+1/n) is at least 1/n times n/(n+1) [width times least height]
  42. and at most 1/n times 1 [width times most height]. So n times that lies
  43. between n/(n+1) and 1, hence tends to 1. Since the inverse of the log
  44. function is continuous (easy exercise) (1+1/n)^n tends to e,
  45.  
  46. QED.
  47.  
  48. -- 
  49. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  50. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  51.