home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16746 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-11  |  4.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!warwick!doc.ic.ac.uk!uknet!axion!fmg!jcrw
  2. From: jcrw@fmg.bt.co.uk (Jeremy Wilson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Square root of a matrix
  5. Message-ID: <1992Dec11.095732.9802@fmg.bt.co.uk>
  6. Date: 11 Dec 92 09:57:32 GMT
  7. References: <1992Dec8.190620.39091@ns1.cc.lehigh.edu>
  8. Organization: British Telecom
  9. Lines: 83
  10. X-Newsreader: Tin 1.1 PL5
  11.  
  12. Frederick W. Chapman (fc03@ns1.cc.lehigh.edu) wrote:
  13. : In article <1992Dec8.053151.20414@news.eng.convex.com>,
  14. : dodson@convex.COM (Dave Dodson) writes: >In article
  15. : <1992Dec7.204135.18257@husc15.harvard.edu> blom@husc15.harvard.edu
  16. : writes:
  17. : >>How can one take the square root of a matrix?  I have done so for a
  18. : >>few matrices but I am having trouble generalizing my techniques.  It
  19. : >>seems that there are 4 solutions, in general, which are not
  20. : >>necessarily unique.  These can be paired such that there are two
  21. : >>solutions with positive determinants and the other two solutions are
  22. : >>the previous ones times -1.  This is much like typical square roots.
  23. : >
  24. : >If a matrix is diagonalizable, its square roots can be constructed as follows:
  25. : >
  26. : >         -1
  27. : >Let A = X  D X, where D is a diagonal matrix.  Let E be a matrix such that
  28. : > 2                -1
  29. : >E  = D.  Let B = X  E X.
  30. : >
  31. : >      2     -1    2    -1              -1         -1
  32. : >Then B  = (X  E X)  = X  E X X  E x = X  E E X = X  D X = A, so B is a square
  33. : >root of A.
  34. : >
  35. : >                                            2
  36. : >In general, there will be many E such that E  = D.
  37. : 
  38. : What if A is *not* diagonalizable?  For example, the matrix
  39. : 
  40. :                                       [ r  1 ]
  41. :                                  A := [      ]
  42. :                                       [ 0  r ]
  43. : 
  44. : for any real r is already in Jordan canonical form, and is not similar
  45. : to a diagonal matrix.  How do we compute the square root of the matrix
  46. : in this case?
  47. : 
  48. : (One possibility is to try to use the Maclaurin series expansion for
  49. : sqrt(1+x) and evaluate the result at A - I, if the resulting series of
  50. : matrices converges; taking into account that A is of the form r I + N,
  51. : where N is nilpotent of order 2, there should be considerable
  52. : simplification.)
  53. : 
  54. : One thing is clear in general: If B^2 = A, then the eigenvalues of A are
  55. : the squares of the eigenvalues of B, and algebraic multiplicities are
  56. : preserved.  Using this information, we can take a wild guess for my
  57. : example: considering a matrix of the form B = sqrt(r) I + c N, and solving
  58. : B^2 = A for the real constant c yields
  59. : 
  60. : 
  61. :                                   [  1/2     1   ]
  62. :                                   [ r     ------ ]
  63. :                                   [          1/2 ]
  64. :                              B := [       2 r    ]
  65. :                                   [              ]
  66. :                                   [         1/2  ]
  67. :                                   [   0    r     ]
  68. : 
  69. : 
  70. : where the same value of sqrt(r) is taken for each matrix element.  I
  71. : suspect that a similar approach could be derived for the Jordan canonical
  72. : form of any matrix.
  73. : 
  74.  
  75. In fact every matrix with all its eigenvalues equal and non-zero  can be written  as a product of a scalar matrix and an upper unitriangular matrix.
  76.  It is easy to show by induction on the matrix size that  the 
  77.  unitriangular matrix has only one square root which is unitriangular 
  78.  so we now seem to have enough using Jordan normal form  to determine all 
  79.  square roots, except those with zero eigenvalues.  A matrix with all its
  80.   eigenvalues zero, however, cannot have a square root  unless it is 
  81.   the zero matrix, as far as I can see. 
  82.  
  83. Any thoughts about what happens for fields other than the complaex numbers?
  84.  In particular what happens for fields with characteristic p?
  85.  +---------------------------------+----------------------------------------+
  86. ! Jeremy Wilson              !    email: jcrw@fmg.bt.co.uk           !
  87. ! Room 3-07                       !     Telephone: 0473-227822             !  
  88. ! BT Development and Procurement  !     International: +44 473-227822      !
  89. ! Bibb Way              !     Facsimile: 0473-210182             !
  90. ! IPSWICH                         !     International: +44 473-210182      !
  91. ! Suffolk  IP1 2EQ                !     Telex: 987705                      !
  92. ! United Kingdom                  !     International: +51 987705          !
  93. !                    !                        !
  94. +---------------------------------+----------------------------------------+
  95.