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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / alt / usage / english / 8646 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-18  |  2.6 KB  |  57 lines
  1. Newsgroups: alt.usage.english
  2. Path: sparky!uunet!caen!uwm.edu!psuvax1!news
  3. From: plu@math.psu.edu (Mr. Hypothetical)
  4. Subject: Re: quite unique
  5. In-Reply-To: nadeau@bcarh1ab.bnr.ca's message of Wed, 18 Nov 1992 22:14:51 GMT
  6. Message-ID: <BxxwBv.IEM@cs.psu.edu>
  7. Sender: news@cs.psu.edu (Usenet)
  8. Nntp-Posting-Host: jacobi.math.psu.edu
  9. Organization: Penn State Department of Mathematics
  10. References: <BxuK87.176@ccu.umanitoba.ca> <1992Nov17.181046.21137@nas.nasa.gov>
  11.     <1992Nov18.192304.15503@nas.nasa.gov>
  12.     <1992Nov18.221451.14168@bcrka451.bnr.ca>
  13. Date: Thu, 19 Nov 1992 01:33:31 GMT
  14. Lines: 41
  15.  
  16. In article <1992Nov18.221451.14168@bcrka451.bnr.ca> nadeau@bcarh1ab.bnr.ca (Rheal Nadeau) writes:
  17.    In article <1992Nov18.192304.15503@nas.nasa.gov> asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov) writes:
  18.    >
  19.    >Come to think of it, consider the following two uniquenesses:
  20.    >
  21.    >a)    2 is the unique integer that is an even prime number.
  22.    >
  23.    >b)    1/3 is the unique real number x satisfying the equation 3x = 1.  
  24.    >
  25.    >Since there are infinitely more real numbers than integers, 
  26.    >perhaps it *does* make sense to say that 1/3 is "more unique" 
  27.    >than the number 2, in the above contexts.
  28.  
  29.    Wrong - there are not infinitely more real numbers than integers.  If I
  30.    had my university notes, I could trot out the proof, but in the
  31.    meantime:  there are infinite numbers of integers and of real numbers.
  32.    "Infinite" being an absolute term, you can't say that one infinite set
  33.    is larger than the other (and certainly not infinitely larger).
  34.  
  35. No, in fact you can say that the set of real numbers is larger than
  36. the set of integers.  I shouldn't try to go into too much detail here,
  37. but if Z is the set of integers and R the set of real numbers, then
  38. one can prove that there is no function f from Z to R such that every
  39. real number r is equal to f(z) for some integer z.  In other words,
  40. any function from Z to R has to "miss" part of R (in fact, almost all
  41. of R).  Since we can construct a function from the positive integers
  42. to Z that doesn't miss any of Z, the integers are said to be
  43. "countably" infinite - they can be counted, 1,2,3,....  But R is
  44. uncountably infinite.  That said, I don't think I would say 1/3 as a
  45. real number was more unique than 2 as an integer (but that's just my
  46. opinion).
  47.  
  48. Speaking of "uniqueness", I once took a (math) class in which the
  49. notion of "strong uniqueness of best approximation" was introduced;
  50. also, the class used a book whose author used the aberrant "unicity"
  51. instead of "uniqueness".  (I think unicity comes from the French word
  52. for uniqueness [unicit\'e?], though the book was written in English by
  53. a German.)
  54.  
  55. - Todd Andrew Simpson
  56.  
  57.