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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9681 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-30  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!husc-news.harvard.edu!ramanujan!elkies
  2. From: elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: An interesting limit problem.
  5. Message-ID: <1992Jul30.150656.14324@husc3.harvard.edu>
  6. Date: 30 Jul 92 19:06:54 GMT
  7. Article-I.D.: husc3.1992Jul30.150656.14324
  8. References: <1992Jul29.000223.27339@massey.ac.nz> <1992Jul29.115656.23253@gdr.bath.ac.uk> <MARTIN.92Jul29125203@lyra.cis.umassd.edu>
  9. Organization: Harvard Math Department
  10. Lines: 40
  11. Nntp-Posting-Host: ramanujan.harvard.edu
  12.  
  13. In article <MARTIN.92Jul29125203@lyra.cis.umassd.edu>
  14. martin@lyra.cis.umassd.edu (Gary Martin) writes:
  15. >And have we even had a proof that the limit is 1 that didn't use a machine?
  16.  
  17. The proof I posted only used the machine to substitute one power series
  18. into another, which is just straightforward arithmetic --- it could have
  19. been done easily by hand in a few minutes, but why bother?
  20.  
  21. >There was one posting that made the substitution  y=tan(sin x) (or something
  22. >similar) and claimed that the result was the reciprocal of the original
  23. >expression, but I don't think that claim was correct.
  24.  
  25. Me neither --- and even if it was, one would still have to show that the
  26. limit exists and does not equal -1.  But that posting did contain the kernel
  27. of an idea that does provide a valid proof along the lines indicated in
  28. V.Miller's recent posting.  Basically we are comparing the commutators
  29. [f,g] and [F,G] in the infinite-dimensional Lie group of power series
  30. a1*x+a2*x^2+... (a1<>0)  under composition, with F,G the inverse functions
  31. of f,g; these commutators either both reduce to the identity (the power
  32. series x) or are both of the form x+an*x^n+... with the same n.  This
  33. also leads to an explanation of the fact that in our case f=sin,g=tan
  34. (with both f,g odd functions with leading coefficient 1) the difference
  35. f(g)-g(f) [and so also F(G)-G(F)] vanishes to 7th order at the origin.
  36.  
  37. >      2        2
  38. >   sin      sin
  39. >   ---  x - --- x
  40. >   cos      cos             0
  41. >----------------------- =  --- = 0.  (Though they might leave out the
  42. >   2   2       2   2        0         equal signs, too.  :( )
  43. >Arc sin     Arc sin
  44. >------- x - ------- x
  45. >     2          2
  46. >  cos        cos
  47.  
  48.                                     5 2
  49. Ouch.  Do they automatically write 2 9  = 2592 too?  ;-)
  50.  
  51. --Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  52.   Department of Mathematics, Harvard University
  53.