home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9682 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-30  |  5.0 KB  |  99 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!usc!sol.ctr.columbia.edu!The-Star.honeywell.com!umn.edu!noneuclid.geom.umn.edu!benzvi
  3. From: benzvi@noneuclid.geom.umn.edu (David Ben-zvi)
  4. Subject: Re: Geometry - Euclidean/elliptic/hyperbolic.
  5. Message-ID: <1992Jul30.190314.891@news2.cis.umn.edu>
  6. Sender: news@news2.cis.umn.edu (Usenet News Administration)
  7. Nntp-Posting-Host: noneuclid.geom.umn.edu
  8. Organization: Geometry Center, University of Minnesota
  9. References: <1992Jul30.172517.6127@csc.canterbury.ac.nz>
  10. Date: Thu, 30 Jul 1992 19:03:14 GMT
  11. Lines: 86
  12.  
  13. In article <1992Jul30.172517.6127@csc.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) writes:
  14. >I have a small list here of simple characteristic differences between the
  15. >three types of homogeneous geometry.
  16. >
  17. >If anyone can add further items of interest, I would be most grateful.
  18. >---------------
  19. >      Euclidean                               Elliptic            Hyperbolic
  20. >      =========                               ========            ==========
  21. >One parallel to a line through a given pt.   No parallels.      Many parallels. 
  22. > 
  23. >Triangle angles add to 180.                  More than 180.     Less than 180. 
  24. > 
  25. >Triangles have arbitrary area.               Upper limt to area.   <-- ditto
  26. > 
  27. >Whole space has infinite area.               Finite.            Infinite. 
  28. > 
  29. >Minimum distance between parallel lines      <inapplicable>     At a particular
  30. > achieved by every point on either line.                        point on each.
  31.  
  32. The comment about Euclidean and Hyperbolic spaces having
  33. infinite area is not true for all spaces having these kinds
  34. of geometry. It is true of the model spaces for these geometries-
  35. the simply connected (in these cases, contractible) homogeneous spaces
  36. E^n and H^n (Euclidean and Hyperbolic n-space)-this is probably what you meant. 
  37. Every euclidean/hyperbolic
  38. manifold has E^n/H^n as its universal covering space. But for many purposes
  39. euclidean/hyperbolic manifolds of finite volume such as the torus/genus g
  40. surface (g>1) are the most interesting. (All of these can be represented
  41. as the actions of some nice groups -Kleinian groups in the hyperbolic case,
  42. pretty boring groups in the euclidean - acting on the universal cover.)
  43.  
  44. An interesting note about parallels in hyperbolic space - we can talk about lines
  45. parallel to a given line, these being required to meet the other line at 
  46. infinity (i.e. on the unit disc in the Poincare or Klein models). This corresponds
  47. to our regular notion of parallels, meeting at the horizon. There are also 
  48. lines that don't intersect a given line either in the finite or infinite part
  49. of the hyperbolic space (i.e. not even asymptotically). These are called 
  50. ultraparallels. Given two ultraparallel lines, there is a unique line perpendicular 
  51. to both. If we think of our hyperbolic space as lying in projective space
  52. (projective = Klein model), then every two ultraparallels meet at a point 
  53. OUTSIDE infinity, and these points correpond to the perpendiculars we constructed.
  54. Since projective space=disc+Mobius strip, we can say that there is a Mobius strip
  55. outside infinity correponding to the perpendiculars (and thus intrinsically 
  56. defined!) For higher dimensional hyperbolic spaces there is a simillarly
  57. defined perpendicular hyperplane given two ultraparallels, and the set of these
  58. hyperplanes form the higher dimensional analogues of Mobius strips
  59. (= tautological or canonical line bundle over projective space P^(n-1)).
  60. Thus we can truly say that there is a Mobius strip outside of infinity!
  61.  
  62. Final note - in your enumeration of homogeneous geometries you might want to include
  63. Thurston's list of eight homogeneous geometries for three-manifolds.
  64. The three you mentioned are the isotropic ones. Besides these
  65. there are:
  66.  H^2 x E geometry - it looks like the hyperbolic plane in one
  67.     direction and like the Euclidean line in another.
  68.  
  69. S^2 x E : spherical in some directions, 1-D Euclidean looking "up".
  70.  
  71. Twisted H^2 x E, or PSL2(R) geometry: this looks like H^2xE except
  72.     that it's twisted - in moving along the H^2 direction you slide
  73.     down the E direction. (This is a natural geometry on the 
  74.     universal cover of PSL2(R), the group of hyperbolic isometries)
  75.  
  76. Twisted Euclidean (or Nilgeometry) - same idea. there's a good picture of this
  77.     as a "junglejim" in Jeff Weeks' book.
  78.  
  79. Solvegeometry - this is the really wierd one. Essentially no two
  80.     directions look the same. It is made out of Euclidean planes, 
  81.     but when you move up you get squished in one direction and expanded in
  82.     another, viceversa for moving down. Geodesics look very strange-
  83.     to get from one point to another in the same Euclidean plane, it's
  84.     better to move up (say) so that lengths shrink, and then move back down.
  85.  
  86. (For a complete description of these geometries, see Thurston's preprint
  87. "Three Dimensional Geometry and Topology". There's also an article
  88. by Peter Scott, "The Geometries of 3-manifolds"  in the Bulletin of the London
  89. Mathematical Society" 15, 1983, - I haven't read this).   
  90.  
  91.  
  92. Hope this helps,
  93. David Ben-Zvi (benzvi@geom.umn.edu)
  94.  
  95. =============================
  96.  
  97. "The surface was invented by the devil" - Wolfgang Pauli
  98.  
  99.