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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9648 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-29  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!usc!noiro.acs.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: HELP. TEST FOR EXTREMA IN f(x,y,z)
  4. Message-ID: <a_rubin.712451081@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 29 Jul 92 23:04:41 GMT
  7. References: <1992Jul29.010542.8650@eng.ufl.edu>
  8. Keywords: Partial derivatives, Extrema, function of 3 variables.
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 58
  11.  
  12. In <1992Jul29.010542.8650@eng.ufl.edu> armando@synapse.ee.ufl.edu (Armando Barreto) writes:
  13.  
  14.  
  15. >Hello,
  16.  
  17. >Most Calculus books include a theorem like this to test extrema of a function  
  18. >of two variables (This one taken from Calculus ..  by Swokowsky):
  19.  
  20. >Let f(x,y) be a function of two variables which has continuous second partial  
  21. >derivatives on a rectangular region Q, and let
  22.  
  23. >        g(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) - [fxy(x,y)]^2
  24. >        
  25. >for all (x,y) in Q. If (a,b) is in Q and fx(a,b)=0, fy(a,b) =0, then the  
  26. >following statements hold.
  27.  
  28. >(i) f(a,b) is a local maximum if g(a,b)>0 and fxx(a,b) < 0.
  29. >(ii) f(a,b) is a local maximum if g(a,b)>0 and fxx(a,b) > 0.
  30. >(iii) f(a,b) is not an extremum of f if g(a,b)<0.
  31.  
  32. ><<< NOTATION: fx(x,y) is the first partioal w.r.t. x, fxx(x,y) is the second  
  33. >partial w.r.t. x and fxy(x,y) is the second mixed partial >>> 
  34.  
  35. >My question is :
  36.  
  37. >IS THERE SUCH A TEST FOR EXTREMA IN A FUNCTION OF 3 VARIABLES :f(x,y,z) ?
  38.  
  39. Actually there is; someone else will have to provide a reference, but:
  40.  
  41. (i) f(a,b) is a local maximum if the Hessian is negative definite
  42. (ii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is positive definite
  43. (iii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is indefinite.
  44.  
  45. The Hessian, of course is the matrix of 2nd partial derivatives.
  46.  
  47. A matrix is positive definite 
  48. iff all eigenvalues are positive
  49. iff all diagonal submatrices have positive determinate
  50. iff all upper-left square submatrices have positive determinate
  51.  
  52. A matrix is negative definite 
  53. iff all eigenvalues are negative
  54. iff all diagonal submatrices have determinate sign (-1)^m
  55. iff all upper-left square submatrices have determinate sign (-1)^m
  56.  
  57. A matrix is indefinite
  58. iff all there are both positive and negative eigenvalues
  59. iff it is not singular and is neither positive nor negative definite
  60.  
  61. (All of the equivalences are only for symmetric matrices.)
  62.  
  63.  
  64.  
  65. --
  66. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  67. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  68. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  69. Our news system is unstable; if you want to be sure I see a post, mail it.
  70.