home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9641 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-29  |  2.5 KB  |  57 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!yktnews!victor
  3. From: victor@watson.ibm.com (Victor Miller)
  4. Subject: Re: An interesting limit problem.
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <VICTOR.92Jul29153236@terse4.watson.ibm.com>
  7. In-Reply-To: elkies@ramanujan.harvard.edu's message of 25 Jul 92 20:18:04 EDT
  8. Date: Wed, 29 Jul 1992 19:32:36 GMT
  9. Reply-To: victor@watson.ibm.com
  10. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  11. References: <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  12.     <1992Jul25.201805.14172@husc3.harvard.edu>
  13. Nntp-Posting-Host: terse4.watson.ibm.com
  14. Organization: IBM, T.J. Watson Research Center
  15. Lines: 40
  16.  
  17. >>>>> On 25 Jul 92 20:18:04 EDT, elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies) said:
  18.  
  19. Noam> In article <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  20. Noam> mattm@lure.latrobe.edu.au writes:
  21.  
  22. >A challenge to all mathematicians. A 100 years ago, this would probably have 
  23. >been solved fairly simply in a natural way, but can you? I think that this
  24. >problem was first posed by the Russian mathematician Arnold. Hope you find this
  25. >problem as interesting as I did when I first solved it.
  26. >
  27. >                sin(tan x)    -    tan(sin x)
  28. >    lim  ----------------------------------  = ???
  29. >    x->0 arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  30.  
  31. Noam> I don't know how they sould have done this 100 years ago.  One direct
  32. Noam> approach is to expand both numerator and denominator in Taylor series
  33. Noam> about x=0 and compare leading terms.  Since we're doing this today instead
  34. Noam> of 100 years ago, we can obtain the Taylor expansions instantaneously using
  35. Noam> a symbolic manipulation package.  We find that both numerator and denominator
  36. Noam> are -x^7/30+O(x^9), so the limit equals 1.  This also suggests that you
  37. Noam> *don't* want to find this limit using the L'Hospital rule, especially if
  38. Noam> you have to do all the derivatives by hand!
  39.  
  40. This problem is rather interesting, in that it is true in the
  41. following general sense: let f and g be distinct elements of k[[x]]
  42. (the power series ring, k is an arbitray field), which have 0 constant
  43. term, and linear term x.  Then the Laurent series
  44.  
  45.          f(g(x)) - g(f(x))
  46.     -------------------------------------
  47.     f^{-1}(g^{-1}(x)) - g^{-1}(f^{-1}(x))
  48.  
  49. starts 1 + ...
  50. Noam> --Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  51. Noam>   Dept. of Mathematics, Harvard University
  52. --
  53.             Victor S. Miller
  54.             Vnet and Bitnet:  VICTOR at WATSON
  55.             Internet: victor@watson.ibm.com
  56.             IBM, TJ Watson Research Center
  57.