home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9552 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  2. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help needed for a Proof
  5. Keywords: Help
  6. Message-ID: <1992Jul26.000035.24998@infodev.cam.ac.uk>
  7. Date: 26 Jul 92 00:00:35 GMT
  8. References: <1992Jul25.062401.29682@uniwa.uwa.edu.au>
  9. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  10. Organization: U of Cambridge, England
  11. Lines: 36
  12. Nntp-Posting-Host: bootes.cus.cam.ac.uk
  13.  
  14. In article <1992Jul25.062401.29682@uniwa.uwa.edu.au>, ycchin@tartarus.uwa.edu.au (Chin Yih Chong) writes:
  15. > Recently, I came across a very useful formula for finding determinant,
  16. > and It goes something like this:
  17. > 
  18. > Given an n*n square matrix    |  A   B  |
  19. >                               |  C   D  |
  20. > 
  21. > where A is of dimension r*r and D is of dimension s*s, such that 
  22. > r>0,s>0 and r + s = n, then
  23. > 
  24. >       det | A  B |  =  det(D)*det(A - B*R*C) , where R = inverse of D
  25. >           | C  D |
  26. > 
  27. > Can anyone enlighten me on the proof of this formula.....
  28. > Any help is greatly appreciated.
  29.  
  30. Sure. Remember that det PQ = det P det Q, and that determinants aren't
  31. changed by adding a multiple of one row or column of a matrix onto another.
  32.  
  33. Then det | A B |  =  det D det | A   B |
  34.          | C D |               | D'C 1 |
  35.  
  36. where ' means inverse. (Multiply by | 1  0 |
  37.                                     | 0 D' |. )
  38.  
  39. Now use lots of "column operations" to subtract the right-hand bit times D'C
  40. from the left-hand bit (exercise: check that this doesn't change the determinant,
  41. using the second fact recalled above), to get
  42.  
  43. det D det | A-BD'C  0 |
  44.           |   0     1 |
  45.  
  46. which is what you wanted.
  47.  
  48. (I've used without comment the fact that det | P 0 | = det |P|. It's easy.)
  49.                                              | 0 1 |
  50.