home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9551 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  1.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!caen!kuhub.cc.ukans.edu!husc-news.harvard.edu!ramanujan!elkies
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: An interesting limit problem.
  4. Message-ID: <1992Jul25.201805.14172@husc3.harvard.edu>
  5. From: elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies)
  6. Date: 25 Jul 92 20:18:04 EDT
  7. References: <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  8. Organization: Harvard Math Department
  9. Nntp-Posting-Host: ramanujan.harvard.edu
  10. Lines: 23
  11.  
  12. In article <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  13. mattm@lure.latrobe.edu.au writes:
  14.  
  15. >A challenge to all mathematicians. A 100 years ago, this would probably have 
  16. >been solved fairly simply in a natural way, but can you? I think that this
  17. >problem was first posed by the Russian mathematician Arnold. Hope you find this
  18. >problem as interesting as I did when I first solved it.
  19. >
  20. >                sin(tan x)    -    tan(sin x)
  21. >    lim  ----------------------------------  = ???
  22. >    x->0 arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  23.  
  24. I don't know how they sould have done this 100 years ago.  One direct
  25. approach is to expand both numerator and denominator in Taylor series
  26. about x=0 and compare leading terms.  Since we're doing this today instead
  27. of 100 years ago, we can obtain the Taylor expansions instantaneously using
  28. a symbolic manipulation package.  We find that both numerator and denominator
  29. are -x^7/30+O(x^9), so the limit equals 1.  This also suggests that you
  30. *don't* want to find this limit using the L'Hospital rule, especially if
  31. you have to do all the derivatives by hand!
  32.  
  33. --Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  34.   Dept. of Mathematics, Harvard University
  35.