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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9518 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  3.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!wupost!gumby!destroyer!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!pacific.mps.ohio-state.edu!linac!att!rutgers!kb2ear!princeton!fine.princeton.edu!carabalo
  2. From: carabalo@fine.Princeton.EDU (David G. Caraballo)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Choice and Measurability:  Con(ZF+M+CC) is true
  5. Message-ID: <1992Jul24.161921.9655@Princeton.EDU>
  6. Date: 24 Jul 92 16:19:21 GMT
  7. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  8. Organization: Princeton University Mathematics Department
  9. Lines: 65
  10. Nntp-Posting-Host: math.princeton.edu
  11.  
  12. I have made the claim (based on some course notes, later supported by 
  13. a quote from a textbook) that "M is consistent with ZF+CC" is true, 
  14. where  M  = "all subsets of R^n are Lebesgue measurable"
  15.        CC = Countable Choice  
  16.  
  17. I have received numerous emphatic objections on sci.math regarding 
  18. my claim, yet I will make it once again, with renewed support.   One 
  19. major criticism is that I omitted mentioning anything about the existence 
  20. of inaccessible cardinals in making the claim.  I asked Ed Nelson about 
  21. the question, and he referred me to Robert Solovay.  The following is 
  22. quoted from some of Bob Solovay's letters during our email discussions
  23. over the past few days.  (It is quoted with his permission.  For whatever 
  24. it's worth, I found him to be extremely nice as well as helpful.)  I am 
  25. quoting a relatively small portion of what he wrote, but I am using his 
  26. words to honor his request that I quote sufficient context that his 
  27. meaning be clear.  Any typos are my own or are the fault of the posting 
  28. software.  
  29.  
  30. The claim above is not as strong (or useful) as the result concerning
  31. DC (the axiom of dependent choices), but it is nevertheless true,
  32. which is what I have repeatedly claimed.  Earlier, I had claimed that
  33. ZF+M is consistent (as long as ZFC is consistent).  This claim is true
  34. as well, without the need to mention inaccessibles.
  35.  
  36. David G. Caraballo
  37. Department of Mathematics, Princeton University
  38. Fine Hall Room 1106
  39. ----------------------------------------------------------------------------
  40.  
  41. From Robert Solovay:
  42.  
  43. "    1) The statement "ZF + M +CC is consistent" is a statement of
  44.      number theory (which is true). Its truth has nothing to do with the
  45.      existence of inaccessibles in the following precise sense. There are
  46.      models of ZFC
  47.     (a) where the statement is true but there are no inaccessibles;
  48.  
  49.     (b) where the statement is false but there is an inaccessible
  50.         cardinal.
  51.  
  52.      2) Next we have the question: in which theories can we prove
  53.      this true statement.
  54.  
  55.     In ZFC we can prove:
  56.  
  57.        "ZFC +'there is an inaccessible cardinal' " is consistent if
  58.            and only if "ZF + M + CC" is consistent.
  59.  
  60.     (In fact we can prove this assertion in Peano Arithmetic.)
  61.  
  62.      To reiterate:
  63.  
  64.      1) Con(ZF+M+CC) is not provable in ZFC
  65.  
  66.      2) Con(ZF+M+CC) is provable in ZFC + Con (ZFC+I), hence in ZFC      
  67.        + two inaccessible cardinals exist.
  68.  
  69.      3) For us dyed-in-the-wool platonists (I'm a card-carrying member of
  70.     the club), 2) is more than enough grounds to conclude:
  71.  
  72.     Con(ZF +M + CC) is true.
  73.  
  74.           As ever,
  75.  
  76.               Bob Solovay                                         "
  77.