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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9517 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-25  |  1.9 KB  |  44 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!caen!destroyer!ubc-cs!unixg.ubc.ca!pruss
  3. From: pruss@unixg.ubc.ca (Alexander Pruss)
  4. Subject: Re: Topos not over SET with natural number system?
  5. Message-ID: <1992Jul24.191021.3095@unixg.ubc.ca>
  6. Keywords: elementary topos, natural number system, SET
  7. Sender: news@unixg.ubc.ca (Usenet News Maintenance)
  8. Nntp-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  9. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  10. References: <1992Jul23.213112.5122@unixg.ubc.ca>
  11. Date: Fri, 24 Jul 1992 19:10:21 GMT
  12. Lines: 30
  13.  
  14. In article <1992Jul23.213112.5122@unixg.ubc.ca> I write:
  15. >Can there exist a topos not defined over SET with a natural number
  16. >system?  If so, what would be an example?
  17.  
  18. [Someone noted I should have said "elementary" topos to distinguish
  19. from a Grothendieck topos.]
  20.  
  21. Sorry to have bothered people with this.
  22.  
  23. There is indeed a fairly simple topos with this property.
  24.  
  25. Let Z be any set.  We define the category SETZ to be the full subcategory
  26. of SET with objects being sets of cardinality <= P^n Z for some natural
  27. number n.  (P^n Z= P...PZ with n P's, where for any set A, PA is its power
  28. set.)  Then it is very easy to see SETZ is a topos.
  29.  
  30. If Z is infinite, then SETZ clearly contains an infinite object, and so a
  31. natural number system.
  32.  
  33. Now, SETZ is not defined over SET, as we can easily verify there is no
  34. K-indexed coproduct of 1={0} in SETZ if K is a set of cardinality strictly
  35. greater than any P^n Z.  (E.g. K = union(P^n Z), the union being taken
  36. over natural n.)
  37.  
  38. SETZ is a really nice topos.  For Z=0, it is the degenerate topos.  For
  39. Z finite, it is FINSET.  For Z infinite it has a natural number system.
  40. It is never defined over SET, but nonetheless has many of the properties
  41. of SET, and seems to be a generalization of FINSET.  It is Boolean,
  42. bivalent, extensional, any object A not isomorphic to 0 has an arrow
  43. 1-->A, and has the axiom of choice (if SET is assumed to have it).
  44.