home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9519 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!jvnc.net!rutgers!netnews.upenn.edu!netnews.cc.lehigh.edu!ns1.cc.lehigh.edu!fc03
  2. From: fc03@ns1.cc.lehigh.edu (Frederick W. Chapman)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Group Theory Question
  5. Message-ID: <1992Jul24.175434.28408@ns1.cc.lehigh.edu>
  6. Date: 24 Jul 92 17:54:34 GMT
  7. Organization: Lehigh University
  8. Lines: 40
  9.  
  10. In article <36049@sdcc12.ucsd.edu>, dmassey@sdcc3.ucsd.edu (Daniel
  11. Massey) writes:
  12.  
  13. >Hi,
  14. >I'm reviewing algebra and have gotten stuck on the following
  15. >seemingly simple question:
  16. >
  17. >G is an abelian group and H a subgroup  of G. Prove their exists
  18. >a subgroup of G which is iso. to G/H.
  19. >
  20. >Anyway, I'm not making any progress on this one so any suggestions
  21. >would be greatly appreciated.
  22. >Thanks,
  23. >Dan Massey
  24.  
  25.  
  26. That's because the statement is... FALSE!  Take G to be the additive group
  27. of the integers Z, and take H to be the subgroup of even integers 2Z.  Then
  28. G/H = Z/2Z, which is isomorphic to C_2, the cylic group of order 2.  Z/2Z
  29. contains an element of order 2, namely 1+2Z, but Z contains no elements of
  30. order 2 (every non-zero element of Z has infinite order).
  31.  
  32. I believe the proposition may be true for FINITE abelian groups.  I think
  33. that an easy proof should follow from the fundamental theorem for finite
  34. abelian groups (though perhaps that is overkill).  Start by showing that
  35. the proposition is true for cyclic groups of prime power order, and then
  36. use the fundamental theorem for finite abelian groups in conjunction with
  37. the fact that (G_1 (+) ... (+) G_n) / (H_1 (+) ... (+) H_n) is isomorphic
  38. to (G_1/H_1) (+) ... (+) (G_n/H_n) if H_i is a normal subgroup of G_i for
  39. each i; replace the G_i/H_i's by subgroups J_i's of the G_i's (by the
  40. result for cyclic groups of prime power order), and you are done!  The only
  41. other part necessary is to show that a subgroup H must have the structure
  42. described above (i.e., that the H_i's are subgroups of the G_i's).
  43. -- 
  44.  
  45. o ------------------------------------------------------------------------- o
  46. |  Frederick W. Chapman, User Services, Computing Center, Lehigh University |
  47. |    Campus Phone:  8-3218     Preferred E-mail Address:  fc03@Lehigh.Edu   | 
  48. |  "I do comedy and magic; what you don't find funny -- that's the magic."  |
  49. o ------------------------------------------------------------------------- o
  50.