home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9371 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-21  |  1.4 KB  |  36 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!decwrl!parc!xerox!friedman
  3. From: friedman@ieor.berkeley.edu (Eric Friedman)
  4. Subject:  Convex Dual Question
  5. Message-ID: <1992Jul21.164426.12627@parc.xerox.com>
  6. Sender: news@parc.xerox.com
  7. Reply-To: friedman@ieor.berkeley.edu (Eric Friedman)
  8. Organization: U. C. Berkeley
  9. Date: Tue, 21 Jul 1992 16:44:26 GMT
  10. Lines: 24
  11.  
  12. Given a convex set $ G \in R^n$  we can define a map
  13. $T : G \rightarrow S^{n-1}$ the n-1-sphere by mapping the normal to the surface
  14. of the convex set in the obvious manner.
  15. This is mentioned in the standard books on convexity under the name
  16. of convex duality.
  17.  
  18. I'd like to know if any serious study of this map has been done.
  19. For example:
  20.  
  21. 1) The map is typically injective but not surjective. It seems straightforward
  22. to prove that we can construct a G' which is arbitrarily close to G (in some
  23. natural metric) such that the map is surjective.
  24.  
  25. 2) Consider the intersection of a hyperplane H  with G. The map of H\intersection G
  26.  (which is a convex set) forms a subset of S^n. What are the properties of this
  27.  subset? For example let n=3, then the intersection of a plane with
  28.  G maps into a loop on S^2. I don't think that this loop can be too complicated,
  29.  but i`m not sure exactly how to define this.
  30.  
  31.  Presumably, somewhere this has been studied. Any pointers, hints, or
  32.  proofs would be greatly appreciated.
  33.  
  34.  thanks
  35.  eric
  36.