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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9372 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-21  |  3.4 KB  |  66 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!zermelo!jbaez
  3. From: jbaez@zermelo.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: You know, the integers (was: Re: Stupid question about FLT)
  5. Message-ID: <1992Jul21.163533.15492@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: zermelo
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <1992Jul21.132554.152734@ns1.cc.lehigh.edu>
  10. Date: Tue, 21 Jul 92 16:35:33 GMT
  11. Lines: 53
  12.  
  13. In article <1992Jul21.132554.152734@ns1.cc.lehigh.edu> fc03@ns1.cc.lehigh.edu (Frederick W. Chapman) writes:
  14.  
  15. >I can't speak for anyone else, but I find the notion that the
  16. >consistency of ZFC has not yet been established to be the most
  17. >singularly disturbing mathematical news to ever reach my ears, given
  18. >that ZFC is intended to serve as a foundation for the rest of
  19. >mathematics.
  20.  
  21. The carefully guarded secret about these "consistency proofs" is that
  22. for you to believe them you must have faith in the consistency of the
  23. system in which you are doing the proof.  Suppose you could prove
  24. Con(ZF) in ZF.  Well, if you are smart and know Goedel's theorem you
  25. know you're in deep trouble at this point since ZF must be inconsistent.
  26. But even if you weren't so smart you could realize that it's still quite
  27. possible for ZF to be inconsistent, in which case one could prove
  28. EVERYTHING in ZF, e.g., Con(ZF).  
  29.  
  30. Now consider the propositional calculus.  There's a consistency proof
  31. for it.  However, I claim that this proof isn't worth much if what you
  32. are seeking is reassurance that your ideas on logic aren't screwed up.
  33. For the reasoning used in the proof of consistency of the propositional
  34. calculus, while usually left informal, is no more "self-evidently
  35. consistent" than the propositional calculus itself.  It's possible that
  36. our ideas on logic are somehow very deeply confused and that one day
  37. someone will come up with a proof of P & not(P) in the propositional
  38. calculus.  Of course, in this case our ideas on logic would be revealed
  39. to be a bunch of baloney - including our proof of the consistency of the
  40. propositional calculus.
  41.  
  42. For a while I was planning on writing a short story entitled "The
  43. inconsistency of the propositional calculus", that would imagine this
  44. happening.  
  45.  
  46. I used to crave certainty and this sort of thing bugged me.  Now I'm
  47. fairly used to it -- as well as the fact (which once seemed disturbing)
  48. that no r.e. set of axioms about the integers will have a unique model
  49. up to elementary equivalence, and NO set of axioms about the integers
  50. will have a unique model up to isomorphism.   It irritates Torkel when I
  51. say that this means we're not quite sure what the "real" integers ARE.
  52. I think the sense in which I mean this was most clearly indicated by my
  53. game show in which one tried to figure out which mathematician was using
  54. the real integers and which two were fakes.  (What's the name of that
  55. show, anyway?  Truth or Consequences?)  
  56.  
  57. Please don't think I'm losing any sleep over this.  I like to think of
  58. it this way.  I have a notion - "the integers" - and I try to capture
  59. this notion in some axioms and prove some things using the axioms.  All
  60. I get is what I pay for, I should not expect the axioms to answer all possible
  61. questions, I should not expect the axioms to be categorical, and I
  62. should not expect to get some sort of guarantee that the axioms are
  63. consistent, other than the empirical fact that nobody has found an
  64. inconsistency yet.  This may seem tough but it's certainly no worse than
  65. the rest of life.
  66.