home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Sinera en Disc / 1993_Sinera.iso / docs / manutxt / parabola.txt < prev    next >
Text File  |  1993-03-10  |  68KB  |  2,081 lines
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.                                                                          
  9.  
  10.  
  11.  
  12.                               REPRESENTACIÖ 
  13.  
  14.                                  GRÄFICA
  15.  
  16.                                DE PARÄBOLES
  17.  
  18.                        
  19.  
  20.                           Esther Margalejo Pallás
  21.                          Montserrat Mestres Moliner
  22.                             Carme Sadurní Camps
  23.  
  24.                                   Març 92
  25.  
  26.  
  27.         Aquests materials van adreçats a donar suport a les activitats de
  28.         l'assignatura   de   matemàtiques   realitzades   utilitzant  els
  29.         ordinadors i el software distribuït 
  30.  
  31.  
  32.         Autores: Esther Margalejo Pallás
  33.                  Montserrat Mestres Moliner
  34.                  Carme Sadurní Camps
  35.  
  36.  
  37.         Títol del programa: FUNCIÖ QUADRÄTICA. PARÄBOLES
  38.         Autors del programa: Miquel Ängel de Miguel Perez
  39.                              Miquel Gisbert Briansó
  40.                              Santiago Manrique Catalán
  41.                              Grup ABAX
  42.  
  43.         Programa distribuït en el Tercer Mostrari de Software Didàctic.
  44.  
  45.         
  46.         
  47.         
  48.         
  49.         
  50.         
  51.         Generalitat de Catalunya
  52.         Departament d'Ensenyament
  53.         Programa d'Informàtica Educativa
  54.  
  55.  
  56.  
  57.  
  58.  
  59.  
  60.  
  61.  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70.                                        Representació gràfica de paràboles
  71.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  72.  
  73.  
  74.         ÆNDEX
  75.  
  76.  
  77.  
  78.         1  PART I  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    3
  79.            1.1  Dades generals del programa  . . . . . . . . . . . .    3
  80.            1.2  Dades generals de la fitxa . . . . . . . . . . . . .    3
  81.            1.3  Dades pedagògiques . . . . . . . . . . . . . . . . .    3
  82.               1.3.1  Coneixements previs . . . . . . . . . . . . . .    3
  83.               1.3.2  Inserció curricular . . . . . . . . . . . . . .    4
  84.               1.3.3  Objectius . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    4
  85.  
  86.         2  PART II   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    5
  87.            2.1  Presentació del programa . . . . . . . . . . . . . .    5
  88.            2.2  Com desplaçar-se pel programa  . . . . . . . . . . .    5
  89.            2.3  Com entrar dades numèriques  . . . . . . . . . . . .    5
  90.            2.4  Funcions de segon grau. Paràboles  . . . . . . . . .    6
  91.               2.4.1  Representació gràfica . . . . . . . . . . . . .    6
  92.               2.4.2  Família de paràboles  . . . . . . . . . . . . .   14
  93.               2.4.3  Determinació de l'equació d'una paràbola  . . .   17
  94.               2.4.4  Interseccions . . . . . . . . . . . . . . . . .   21
  95.               2.4.5  Imatges-Antiimatges . . . . . . . . . . . . . .   23
  96.               2.4.6  Inequacions de segon grau . . . . . . . . . . .   24
  97.               2.4.7  Problemes d'enunciat  . . . . . . . . . . . . .   27
  98.               2.4.8  Exercicis d'ampliació . . . . . . . . . . . . .   29
  99.  
  100.         3  PART III  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   30
  101.            3.1  Anàlisi del programa . . . . . . . . . . . . . . . .   30
  102.            3.2  Anàlisi del full de pràctiques . . . . . . . . . . .   30
  103.            3.3  Anàlisi de l'experiència . . . . . . . . . . . . . .   31 
  104.  
  105.  
  106.  
  107.  
  108.  
  109.  
  110.  
  111.  
  112.  
  113.  
  114.  
  115.  
  116.  
  117.  
  118.  
  119.  
  120.  
  121.  
  122.  
  123.  
  124.  
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130.  
  131.         ───────────────────────────────────────────────────────────────── 1
  132.                                          Programa d'Informàtica Educativa  
  133.  
  134.  
  135.  
  136.  
  137.                                        Representació gràfica de paràboles
  138.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  139.  
  140.  
  141.         1  PART I
  142.  
  143.         1.1  Dades generals del programa
  144.  
  145.         Títol: Funció quadràtica. Paràboles. (Unitat 3 de GRAF123)
  146.  
  147.         Tema: Representació  gràfica de  paràboles i estudi  de diferents
  148.               aspectes de la funció quadràtica. 
  149.  
  150.  
  151.         1.2  Dades generals de la fitxa
  152.  
  153.         Tema: Representació   gràfica   de  paràboles.   Influència  dels
  154.               paràmetres  de  l'equació  en  la  seva  gràfica  i  estudi
  155.               d'altres aspectes de la funció de segon grau.
  156.  
  157.         Nivell: Ensenyament   Secundari   Obligatori    i     Ensenyament
  158.                 Secundari Postobligatori.
  159.  
  160.  
  161.         1.3  Dades pedagògiques
  162.  
  163.         1.3.1  Coneixements previs
  164.  
  165.         La fitxa és  molt  exhaustiva  i tracta  aspectes  que  poden ser
  166.         estudiats  en  diferents moments.  Segons l'apartat que s'estigui
  167.         treballant,  és necessari que l'alumne estigui  familiaritzat amb
  168.         alguns dels aspectes següents:
  169.  
  170.         - El pla cartesià.  Representació i identificació de punts  en el
  171.           pla.
  172.  
  173.         - Concepte de funció real de variable real.
  174.  
  175.         - Representació gràfica  d'una  funció  mitjançant  una  taula de
  176.           valors.
  177.  
  178.         - Concepte i càlcul d'imatges i antiimatges.
  179.  
  180.         - Mètodes  de  resolució   d'equacions   i  sistemes  d'equacions
  181.           lineals.
  182.  
  183.         - Mètodes de  resolució  d'equacions  i  sistemes  d'equacions de
  184.           segon grau.
  185.  
  186.  
  187.         1.3.2  Inserció curricular
  188.  
  189.         La fitxa als 1rs nivells pot  ser  presentada  dins  del  tema de
  190.         funcions i després d'haver treballat la funció afí i la resolució
  191.         d'equacions de segon grau.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 3
  199.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  200.  
  201.  
  202.  
  203.  
  204.         Representació gràfica de paràboles
  205.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  206.  
  207.  
  208.         Es pot fer servir per introduir l'alumne en l'estudi de la funció
  209.         quadràtica o  bé per consolidar alguns  aspectes que  ja coneix i
  210.         que s'ha desenvolupat a classe.
  211.  
  212.         També es pot utilitzar per introduir  la  resolució d'inequacions
  213.         de segon grau.
  214.  
  215.         Si la fitxa s'utilitza a 2ns nivells pot servir per  repassar els
  216.         conceptes de funcions que s'han treballat el curs  anterior abans
  217.         d'ampliar-los  amb  les  funcions  que  es  presentaran  al llarg
  218.         d'aquest any. 
  219.  
  220.  
  221.         1.3.3  Objectius
  222.  
  223.         Els objectius d'aquesta fitxa són:
  224.  
  225.         - Estudiar les diferents formes d'escriure l'equació d'una funció
  226.           de segon grau.
  227.  
  228.         - Comprendre  millor  la  influència  que   tenen   els  diversos
  229.           paràmetres de l'equació  d'una funció quadràtica sobre  la seva
  230.           gràfica.
  231.  
  232.         - Introduir i/o  consolidar diversos conceptes:  el vèrtex, l'eix
  233.           de simetria,  la intersecció amb els eixos, la concavitat i  la
  234.           convexitat, les imatges i les antiimatges...
  235.  
  236.         - Determinar l'equació d'una paràbola  a partir  de certes dades,
  237.           per  exemple,  a partir  del vèrtex  i la  intersecció  amb els
  238.           eixos.
  239.  
  240.         - Resoldre una inequació de segon grau observant la representació
  241.           gràfica de la funció associada.
  242.  
  243.         - Interpretar geomètricament alguns sistemes de segon grau.
  244.  
  245.         - Resoldre  un  problema   de   planteig   amb   l'ajuda   de  la
  246.           representació gràfica d'una funció.   
  247.  
  248.  
  249.  
  250.  
  251.  
  252.  
  253.  
  254.  
  255.  
  256.  
  257.  
  258.  
  259.  
  260.  
  261.  
  262.  
  263.  
  264.  
  265.         4 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  266.            Programa d'Informàtica Educativa
  267.  
  268.  
  269.  
  270.  
  271.                                        Representació gràfica de paràboles
  272.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  273.  
  274.  
  275.         2  PART II
  276.  
  277.         2.1  Presentació del programa
  278.  
  279.         Engegueu el  programa  donant  l'ordre:  QUADRATI.  Confirmeu amb
  280.         «─┘.  Seguiu les indicacions del programa  fins  arribar  al menú
  281.         principal: 
  282.                                 ┌────────────────────┐
  283.                                 │ COMENÇAMENT        │
  284.                                 │   DOCUMENTACIÖ     │
  285.                                 │      SORTIDA       │
  286.                                 └────────────────────┘
  287.                                 
  288.         En   iniciar   apareix   l'opció   COMENÇAMENT  sobreil·luminada,
  289.         confirmeu l'opció amb   «─┘,  i torneu a fer-ho quan  el programa
  290.         demana ELECCIÖ D'ESCALA. 
  291.  
  292.         A la pantalla es  veuen uns eixos de  coordenades,  amb una trama
  293.         que mostra els punts del pla amb la coordenada x entre -15  i 15,
  294.         i la coordenada y entre -10 i 10.
  295.  
  296.  
  297.         2.2  Com desplaçar-se pel programa
  298.  
  299.         Les  opcions del programa,  disponibles a  cada moment, apareixen
  300.         escrites en  forma de  menú  a la  línia  situada  al  peu  de la
  301.         pantalla.  El  menú  que tens  a la  pantalla  en  aquest moment,
  302.         l'anomenarem menú principal.
  303.  
  304.         - Un  quadre  assenyala   l'opció  del  menú   seleccionada.  Per
  305.           desplaçar-se d'una opció a  l'altra  utilitzeu  les  fletxes de
  306.           cursor ─» i «─. També es pot utilitzar la barra d'espais que en
  307.           aquest context actua com la tecla ─».
  308.  
  309.         - Per executar l'opció seleccionada polseu la tecla «─┘.
  310.  
  311.         - Per tornar a un menú anterior seleccioneu l'opció Sortida
  312.            ┌──┐
  313.           «── │  situada sempre a l'extrem dret de la línia de menús.
  314.            └──┘
  315.              ┌─┐
  316.         - La │i│ serveix per obtenir informació sobre el punt on estàs.
  317.              └─┘   
  318.  
  319.  
  320.         2.3  Com entrar dades numèriques
  321.  
  322.         - Utilitzeu  les xifres  del teclat  numèric  situat  a  la línia
  323.           superior del teclat principal.
  324.  
  325.         - Utilitzeu el  punt,  en lloc  de  la coma,  per separar la part
  326.           entera de la part decimal.
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 5
  333.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  334.  
  335.  
  336.  
  337.  
  338.         Representació gràfica de paràboles
  339.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  340.  
  341.  
  342.         - Es  poden  entrar  nombres  en  forma  fraccionària  utilitzant
  343.           l'operador  de  divisió /.  Per introduir els  nombres negatius
  344.           useu el signe -. 
  345.  
  346.         Nota: Quan una tecla conté dos signes,  un sobre  de  l'altre, el
  347.               superior  s'obté  havent  polsat  prèviament  la  tecla  de
  348.               Majúscules i,  sense deixar de prémer-la,  polsant la tecla
  349.               corresponent.  (La tecla de Majúscules és  una fletxa ampla
  350.               que està repetida a cada extrem del teclat principal).
  351.  
  352.  
  353.         2.4  Funcions de segon grau. Paràboles
  354.  
  355.         2.4.1  Representació gràfica
  356.  
  357.         Selecciona amb «─┘ les successives opcions: DIBUIXAR i PARÄBOLES.
  358.  
  359.         EXERCICI 1
  360.  
  361.         L'objectiu és representar gràficament la funció y = ax2 donant al
  362.         paràmetre a diferents valors i observant la seva incidència sobre
  363.         la gràfica.
  364.  
  365.         Dibuixa a la pantalla la funció:   y = x2 
  366.  
  367.         El  programa  demana  els valors  de  a,b i c per  representar la
  368.         paràbola.  
  369.  
  370.         Un quadre assenyala l'opció del menú seleccionada.  En aquest cas
  371.         és l'opció "A=", que permet l'entrada de dades per a  a.
  372.  
  373.         - Dóna-li el valor 1.
  374.         - Prem la barra d'espai. 
  375.  
  376.         El quadre assenyalarà l'opció "B=".
  377.  
  378.         - Dóna-li el valor 0. 
  379.         - Prem la barra d'espai. 
  380.  
  381.         El quadre assenyalarà l'opció "C=".
  382.  
  383.         - Dóna-li també el valor 0 i confirma amb   «─┘. 
  384.  
  385.         El programa  dibuixa la  paràbola  i escriu  a la  línia superior
  386.         l'equació de la funció (les potències x2 les escriu x^2).
  387.  
  388.         Observa a la pantalla la gràfica de la funció y = x2. Completa la
  389.         taula  següent,   comprova  que  els  punts  corresponents  estan
  390.         efectivament a la gràfica dibuixada i reprodueix-la en els  eixos
  391.         següents:
  392.  
  393.  
  394.  
  395.  
  396.  
  397.  
  398.  
  399.         6 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  400.            Programa d'Informàtica Educativa
  401.  
  402.  
  403.  
  404.  
  405.                                        Representació gràfica de paràboles
  406.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  407.  
  408.  
  409.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  410.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  411.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  412.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  413.             x │ y      · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  414.            ───┼───     · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  415.             2 │        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  416.             1 │        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  417.             0 │        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  418.            -1 │        ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  419.            -2 │        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  420.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  421.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  422.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  423.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  424.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  425.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  426.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  427.                        · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  428.  
  429.  
  430.         Per  dibuixar  altres paràboles,  primer has de  prémer   «─┘ per
  431.         CONTINUAR. 
  432.  
  433.         Repeteix  el  procés  anterior  per  representar  gràficament les
  434.         funcions:  y =  2x2 ; y = 1/2x2 ; y = -x2 ; y = -2x2 
  435.  
  436.         Nota: Per representar aquestes paràboles en el paper, utilitza la
  437.         figura anterior.
  438.  
  439.         Observa aquestes gràfiques i completa les frases següents:
  440.  
  441.         - Totes tenen  un punt en  comú.  Quin és?:  (  ,  ). Aquest punt
  442.           s'anomena  "vèrtex"  i és  el punt més baix  o més alt  de cada
  443.           paràbola.
  444.  
  445.         - Totes són simètriques  respecte  a  l'eix  _______________  que
  446.           s'anomena "eix de simetria" de la paràbola.
  447.  
  448.         Observa  ara com varia  l'obertura  de  les  paràboles anteriors,
  449.         depenent del valor de  a i respon les preguntes següents:
  450.  
  451.         - Quines tenen les branques dirigides cap amunt (còncaves) ?
  452.           _______________________________________________________ 
  453.  
  454.         - Quina és més tancada? _________________________________
  455.  
  456.         - Quines tenen les branques dirigides cap avall (convexes) ?
  457.           ________________________________________________________
  458.  
  459.         - Quina és més tancada? __________________________________
  460.  
  461.  
  462.  
  463.  
  464.  
  465.  
  466.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 7
  467.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  468.  
  469.  
  470.  
  471.  
  472.         Representació gràfica de paràboles
  473.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  474.  
  475.  
  476.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  477.         ┌──                                                            ──┐
  478.           
  479.            Les funcions de la forma  y = ax2 :
  480.           
  481.            Tenen el vèrtex en el punt (0,0).
  482.            Tenen un eix de simetria: l'eix d'ordenades.
  483.            Si a és positiu, és còncava.
  484.            Si a és negatiu, és convexa.
  485.            La paràbola  es  va  tancant a mesura  que  augmenta  el valor
  486.            absolut de a.
  487.           
  488.         └──                                                            ──┘
  489.  
  490.           Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR,
  491.           i confirma amb   «─┘. Ara pots començar l'exercici següent.
  492.  
  493.  
  494.         EXERCICI 2
  495.  
  496.         Ampliarem l'estudi  a les funcions  del tipus y = ax2+bx  on s'ha
  497.         afegit  un  terme  de  primer  grau  i  veurem  la  variació  que
  498.         introdueix el terme bx en la gràfica de la funció.
  499.  
  500.         Dibuixa,  de forma semblant  a l'exercici  1  i  en  uns mateixos
  501.         eixos, les funcions:  y = 2x2 ; y = 2x2 + 8x 
  502.  
  503.  
  504.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  505.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  506.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  507.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  508.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  509.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  510.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  511.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  512.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  513.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  514.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  515.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  516.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  517.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  518.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  519.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  520.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  521.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  522.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  523.  
  524.  
  525.  
  526.  
  527.         Observa  que les dues  gràfiques  són  còncaves  i  que  tenen la
  528.         mateixa obertura. Per què? ____________________________________. 
  529.  
  530.  
  531.  
  532.  
  533.         8 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  534.            Programa d'Informàtica Educativa
  535.  
  536.  
  537.  
  538.  
  539.                                        Representació gràfica de paràboles
  540.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  541.  
  542.  
  543.         El  fet  de   tenir  el  mateix   valor  de  a,   ens  permet  de
  544.         superposar-les mitjançant una translació.
  545.  
  546.         La primera funció és del tipus y = ax2 i talla l'eix X en el punt
  547.         (  ,  ) què és el seu vèrtex. Ara fixa't bé en la segona funció i
  548.         completa les frases següents:
  549.  
  550.         - Talla l'eix X en  dos  punts,  un  és  el  (0,0)  i  l'altre el
  551.           (  ,  ).
  552.         - El seu vèrtex no és el punt (0,0). Quin és? (  ,  )
  553.         - Quin és el seu eix de simetria?. La recta X=
  554.         - Hi ha una relació entre l'abscissa del segon punt d'intersecció
  555.           amb l'eix X i l'abscissa del vèrtex. Quina ? ________________
  556.           _____________________________________________________________
  557.  
  558.  
  559.         A  continuació repetiràs el  procés  de  localització  del vèrtex
  560.         d'una paràbola, però sense fer-ne prèviament la gràfica.
  561.  
  562.         Calcula el vèrtex i l'eix de simetria de la funció y =  2x2 - 4x
  563.  
  564.         Per trobar els punts en què la funció anterior talla l'eix X, has
  565.         de donar a "y"  el valor 0  i  resoldre  l'equació de  segon grau
  566.         2x2-4x=0  (traient factor comú la incògnita "x") per calcular els
  567.         valors de x:
  568.  
  569.  
  570.  
  571.  
  572.  
  573.  
  574.         - En quins punts talla l'eix X ? (0,0) i (  ,  ).
  575.         - L'abscissa del vèrtex serà, doncs,  x= ____
  576.         - La seva ordenada s'obté donant a "x", en la funció, el valor de
  577.           l'abscissa que acabes de calcular:    y = _____
  578.         - L'eix de simetria serà la recta d'equació : x= 
  579.  
  580.         Representa,  a continuació,  la paràbola a la pantalla i comprova
  581.         els teus resultats. Ho has encertat?
  582.  
  583.         (Nota:  Per representar aquesta paràbola en el paper, utilitza la
  584.         figura anterior)
  585.  
  586.         Repeteix aquest procés en general:
  587.  
  588.         Calcula el vèrtex i l'eix de simetria de la funció y = ax2 + bx
  589.  
  590.         Resol l'equació ax2 + bx = 0
  591.  
  592.  
  593.  
  594.  
  595.  
  596.  
  597.  
  598.  
  599.  
  600.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 9
  601.                                       Programa d'Informàtica Educativa
  602.  
  603.  
  604.  
  605.  
  606.         Representació gràfica de paràboles
  607.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  608.  
  609.  
  610.         - En quins punts talla l'eix X ? (  ,0) i (   ,0).
  611.         - L'abscissa del vèrtex serà, doncs, x= ____
  612.         - Per obtenir l'ordenada del vèrtex  només caldria  substituir en
  613.           la funció, "x" per ________
  614.  
  615.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  616.  
  617.         ┌──                                                            ──┐
  618.           
  619.           La introducció del paràmetre b produeix una   translació  de la
  620.           paràbola.
  621.                                                        
  622.           L'abscissa del vèrtex de la paràbola és x= -b/2a.
  623.  
  624.           L'ordenada del vèrtex es troba substituint,  en  la funció, "x"
  625.           per   -b/2a
  626.  
  627.           L'eix de  simetria és la  recta vertical que  passa pel vèrtex,
  628.           d'equació x= -b/2a
  629.  
  630.         └──                                                            ──┘
  631.  
  632.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  633.         confirma amb   «─┘
  634.  
  635.         EXERCICI 3
  636.  
  637.         L'objectiu és representar gràficament la  funció  y = ax2+bx+c  i
  638.         analitzar la influència del nombre c en la gràfica.
  639.  
  640.         Dibuixa,  de forma semblant  als exercicis  anteriors,  i  en uns
  641.         mateixos eixos, les funcions: y = 2x2 - 4x ; y = 2x2 - 4x + 3 
  642.  
  643.  
  644.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  645.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  646.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  647.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  648.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  649.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  650.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  651.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  652.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  653.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  654.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  655.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  656.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  657.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  658.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · ·
  659.  
  660.  
  661.         Si comparem les dues funcions  veurem que,  per obtenir el gràfic
  662.         de la segona funció,  només cal traslladar el de la  primera tres
  663.         unitats cap amunt. Completa les frases següents:
  664.  
  665.  
  666.  
  667.         10 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  668.            Programa d'Informàtica Educativa
  669.  
  670.  
  671.  
  672.  
  673.                                        Representació gràfica de paràboles
  674.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  675.  
  676.  
  677.  
  678.         - La primera funció és del tipus y = ax2+bx i té el  vèrtex en el
  679.           punt (  ,  ).
  680.         - La segona funció té el vèrtex en el punt (  ,  )
  681.         - Quina relació hi ha entre les abscisses dels dos punts?
  682.           ___________________________________________________________. 
  683.  
  684.         - Quina  relació  hi  ha  entre  les  ordenades  dels  dos punts?
  685.           ___________________________________________________________. 
  686.  
  687.  
  688.         Així,  l'abscissa  del vèrtex  no  varia i per  obtenir-la podies
  689.         haver   utilitzat  la  mateixa  fórmula   deduïda  en  l'exercici
  690.         anterior.
  691.  
  692.         Finalment observa que la gràfica de la primera funció talla l'eix
  693.         Y en el punt (0,  )  i la gràfica de la segona funció en  el punt
  694.         (0, ) .
  695.  
  696.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  697.  
  698.         ┌──                                                            ──┐
  699.  
  700.           El  coeficient  c  produeix  un  desplaçament  vertical  de  la
  701.           paràbola.
  702.           
  703.           L'abscissa del vèrtex de la paràbola és x=-b/2a
  704.           
  705.           L'ordenada del vèrtex es troba substituint,  en  la funció, "x"
  706.           per -b/2a
  707.           
  708.           L'eix de  simetria és la  recta vertical que  passa pel vèrtex,
  709.           d'equació x= -b/2a
  710.           
  711.           La paràbola talla l'eix d'ordenades en el punt (0,c).
  712.  
  713.         └──                                                            ──┘
  714.  
  715.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  716.         confirma amb   «─┘. 
  717.  
  718.         Ara analitzarem altres maneres d'escriure  l'equació d'una funció
  719.         de segon grau.
  720.  
  721.  
  722.  
  723.  
  724.  
  725.  
  726.  
  727.  
  728.  
  729.  
  730.  
  731.  
  732.  
  733.  
  734.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 11
  735.                                       Programa d'Informàtica Educativa
  736.  
  737.  
  738.  
  739.  
  740.         Representació gràfica de paràboles
  741.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  742.  
  743.  
  744.         EXERCICI 4
  745.  
  746.         L'objectiu  d'aquest  exercici  és  representar  gràficament  les
  747.         funcions del tipus y = a(x-u)2+v i  observar  la  incidència dels
  748.         seus paràmetres sobre la gràfica.
  749.  
  750.         Representa gràficament, i en uns mateixos eixos, les funcions:
  751.         y = (x-1)2 , y = 2(x+2)2 , y = (x-1)2 - 1 i y = -(x-3)2 + 2
  752.  
  753.         Per  poder entrar  les dades hauràs  de  convertir-les prèviament
  754.         de la forma y =  a(x-u)2+v a la forma general y =  ax2+bx+c. 
  755.  
  756.  
  757.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  758.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  759.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  760.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  761.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  762.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  763.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  764.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  765.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  766.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  767.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  768.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  769.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  770.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  771.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  772.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  773.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  774.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  775.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  776.  
  777.  
  778.         Per a cadascuna de les paràboles escriu:
  779.                 Equació         Equació         Coordenades
  780.                 Paràbola        general         Vèrtex
  781.                 
  782.             y= (x-1)2          y=               (  ,  )
  783.             
  784.             y=                 y=               (  ,  ) 
  785.             
  786.             y=                 y=               (  ,  ) 
  787.             
  788.             y=                 y=               (  ,  ) 
  789.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  790.  
  791.         ┌──                                                             ──┐
  792.           Si   l'equació   d'una   paràbola  és  donada   per   la  forma
  793.           y = a(x-u)2+v, les coordenades del vèrtex són (u,v).
  794.           
  795.           El paràmetre "a" et dóna, com abans, l'obertura i la concavitat
  796.           de la paràbola.
  797.         └──                                                             ──┘
  798.  
  799.  
  800.  
  801.         12 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  802.            Programa d'Informàtica Educativa
  803.  
  804.  
  805.  
  806.  
  807.                                        Representació gràfica de paràboles
  808.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  809.  
  810.  
  811.  
  812.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  813.         confirma amb   «─┘. 
  814.  
  815.         EXERCICI 5
  816.  
  817.         L'objectiu  d'aquest  exercici  és  representar  gràficament  les
  818.         funcions del tipus  y = a(x-x1)(x-x2)  i  observar  la incidència
  819.         dels seus paràmetres sobre la gràfica.
  820.  
  821.         Representa    gràficament    les    funcions:    y = 2(x-1)(x+2),
  822.         y = -(x+3)(x-3) , y = 3x(x-2) i   y = -2(x-6)(x-1)   
  823.  
  824.         Ara les  paràboles estan donades en  la forma  y = a(x-x1)(x-x2).
  825.         Per  poder entrar les  dades hauràs de convertir-la  prèviament a
  826.         la forma general y = ax2+bx+c.  
  827.  
  828.         Per a cadascuna d'aquestes paràboles escriu:
  829.  
  830.               Equació             Equació          Punts on talla
  831.               Paràbola            general          l'eix X
  832.             
  833.             y=2(x-1)(x+2)      y=                  ( , ) i ( , )
  834.             
  835.             y=                 y=                  ( , ) i ( , )
  836.             
  837.             y=                 y=                  ( , ) i ( , )
  838.             
  839.             y=                 y=                  ( , ) i ( , )
  840.            
  841.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  842.  
  843.         ┌──                                                            ──┐
  844.            
  845.           Si   l'equació   d'una   paràbola   es   dóna   en   la   forma
  846.           y = a(x-x1)(x-x2),  x1  i x2 són les abscisses dels punts on la
  847.           paràbola talla l'eix X.
  848.           
  849.           El paràmetre "a" et dóna, com abans, l'obertura i la concavitat
  850.           de la paràbola.
  851.  
  852.         └──                                                            ──┘
  853.  
  854.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  855.         confirma amb   «─┘. Retrocedeix ara una vegada amb el signe
  856.          ┌──┐
  857.         «── │ i selecciona l'opció FAMÆLIA DE PARÄBOLES. Confirma amb «─┘
  858.          └──┘  
  859.  
  860.  
  861.  
  862.  
  863.  
  864.  
  865.  
  866.  
  867.  
  868.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 13
  869.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  870.  
  871.  
  872.  
  873.  
  874.         Representació gràfica de paràboles
  875.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  876.  
  877.  
  878.         2.4.2  Família de paràboles
  879.  
  880.         En aquest  apartat  has  de  dibuixar  una  paràbola  qualsevol i
  881.         després  totes les paràboles  que  se  n'obtenen  incrementant el
  882.         paràmetre a,b o c. Es tracta que tu descobreixis la influència de
  883.         cadascun dels paràmetres en la gràfica.
  884.  
  885.         EXERCICI 1
  886.  
  887.         Representa  la  funció y = 3x2  ,  dibuixa i observa la gràfica i
  888.         l'equació d'unes  quantes  paràboles  que  se  n'obtenen  amb els
  889.         increments següents: A=-1, B=0 i C=0.
  890.  
  891.         El  programa  et  demana  l'equació d'una  paràbola,  dóna-hi els
  892.         valors: A=3, B=0 i C=0.
  893.  
  894.         Un  cop   dibuixada,   la   paràbola  et  permet   modificar  els
  895.         coeficients; dóna-hi ara els valors: A=-1, B=0 i C=0.
  896.  
  897.         A continuació el programa representa la paràbola y = 2x2.
  898.  
  899.         Activa l'opció CONTINUAR i confirma amb «─┘  els increments d'A,B
  900.         i C. N'obtindràs la gràfica de la funció y = x2.
  901.  
  902.         Repeteix  el  mateix  procés  i s'aniran  dibuixant les diferents
  903.         paràboles: y = - x2, y = - 2x2 ..., 
  904.  
  905.         formant un feix de paràboles. (Observa, però, que la funció y = 0
  906.         no serà dibuixada)
  907.  
  908.         - Què tenen en comú totes aquestes paràboles?_______________
  909.  
  910.         - Què les diferencia?_______________________________________
  911.  
  912.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  913.  
  914.         ┌──                                                            ──┐
  915.           
  916.           Si a és positiu, és còncava.
  917.           Si a és negatiu, és convexa.
  918.           La paràbola  es  va  tancant a  mesura  que  augmenta  el valor
  919.           absolut de a.
  920.           
  921.         └──                                                            ──┘
  922.  
  923.         Quan  hagis acabat,  passa a  ESBORRAR,  torna al menú anterior i
  924.         activa l'opció FAMÆLIA DE PARÄBOLES.
  925.  
  926.  
  927.  
  928.  
  929.  
  930.  
  931.  
  932.  
  933.  
  934.  
  935.  
  936.         14 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  937.            Programa d'Informàtica Educativa
  938.  
  939.  
  940.  
  941.  
  942.                                        Representació gràfica de paràboles
  943.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  944.  
  945.  
  946.         EXERCICI 2
  947.  
  948.         Repeteix  el mateix procés  que has seguit  a l'exercici anterior
  949.         però ara amb la funció y = x2  i amb els increments: A=0, B=1 i
  950.         C=0.
  951.  
  952.         Observa les diferents  gràfiques que  es van dibuixant:  
  953.  
  954.         y = x2, y = x2+x, y = x2+2x , y = x2+3x ... 
  955.  
  956.         i, molt especialment, les interseccions amb l'eix X i el vèrtex.
  957.  
  958.         Per a cadascuna de les paràboles escriu:
  959.  
  960.             Equació            Punts on talla           Coordenades
  961.             Paràbola              l'eix X                 Vèrtex
  962.  
  963.             y= x2                  (0,0)                  (0,0)
  964.  
  965.             y= x2+x            (0,0) i ( , )              ( , )
  966.  
  967.             y= x2+2x           (0,0) i ( , )              ( , )
  968.  
  969.             y= x2+3x           (0,0) i ( , )              ( , )
  970.  
  971.         Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  972.  
  973.         ┌──                                                            ──┐
  974.           
  975.           L'efecte que produeix el paràmetre b és una   translació  de la
  976.           paràbola.
  977.           
  978.           La paràbola talla l'eix X en els punts 0 i -b/a. 
  979.           
  980.           L'abscissa  del  nou  vèrtex  és  el  punt  mitjà  del  segment
  981.           d'extrems 0 i -b/a;  per tant: x=-b/2a.
  982.  
  983.           L'ordenada del vèrtex es troba substituint,  en  la funció, "x"
  984.           per -b/2a
  985.  
  986.         └──                                                            ──┘
  987.  
  988.         Quan hagis acabat,  passa  a ESBORRAR,  torna al menú  anterior i
  989.         activa l'opció FAMÆLIA DE PARÄBOLES.
  990.  
  991.  
  992.  
  993.  
  994.  
  995.  
  996.  
  997.  
  998.  
  999.  
  1000.  
  1001.  
  1002.  
  1003.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 15
  1004.                                       Programa d'Informàtica Educativa
  1005.  
  1006.  
  1007.  
  1008.  
  1009.         Representació gràfica de paràboles
  1010.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1011.  
  1012.  
  1013.         EXERCICI 3
  1014.  
  1015.         Repeteix el mateix  procés ,  però ara amb la funció  y = x2+2x i
  1016.         amb els increments: A=0,B=0 i C=2.
  1017.  
  1018.         Observa les diferents gràfiques que es van dibuixant: 
  1019.  
  1020.         y =  x2+2x ,  y = x2+2x+2 , y = x2+2x+4 , y = x2+2x+6 ... 
  1021.  
  1022.         i, molt especialment, les interseccions amb l'eix Y.
  1023.  
  1024.         Per a cadascuna de les paràboles escriu:
  1025.  
  1026.             Equació               Punts on talla           Coordenades
  1027.             Paràbola              l'eix Y                  Vèrtex
  1028.  
  1029.             y=x2+2x                  (0,0)                  ( , )
  1030.  
  1031.             y=x2+2x+2                ( , )                  ( , )
  1032.  
  1033.             y=x2+2x+4                ( , )                  ( , )
  1034.  
  1035.             y=x2+2x+6                ( , )                  ( , )
  1036.  
  1037.  
  1038.          Com a resum podem establir aquestes conclusions:
  1039.  
  1040.         ┌──                                                            ──┐
  1041.  
  1042.           El  coeficient  c  produeix  un  desplaçament  vertical  de  la
  1043.           paràbola.
  1044.           
  1045.           L'abscissa del vèrtex de la paràbola es troba fent x = -b/2a
  1046.           
  1047.           L'ordenada del vèrtex es  troba substituint,  en la funció, "x"
  1048.           per   -b/2a
  1049.           
  1050.           La paràbola talla l'eix d'ordenades en el punt (0,c).
  1051.  
  1052.         └──                                                            ──┘
  1053.  
  1054.         Quan hagis acabat,  prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR i
  1055.         confirma amb  «─┘. Retrocedeix ara fins a trobar l'opció DEMANAR.
  1056.         Confirma amb «─┘.
  1057.  
  1058.  
  1059.  
  1060.  
  1061.  
  1062.  
  1063.  
  1064.  
  1065.  
  1066.  
  1067.  
  1068.  
  1069.  
  1070.         16 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1071.            Programa d'Informàtica Educativa
  1072.  
  1073.  
  1074.  
  1075.  
  1076.                                        Representació gràfica de paràboles
  1077.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1078.  
  1079.  
  1080.         2.4.3  Determinació de l'equació d'una paràbola
  1081.  
  1082.         L'objectiu d'aquest  apartat és  trobar  l'equació d'una paràbola
  1083.         que  l'ordinador dibuixa a l'atzar,  de  la  qual  es  veuen molt
  1084.         clars:  el vèrtex,  el punt on talla l'eix Y, i de vegades altres
  1085.         punts com, per exemple, els punts on talla l'eix X.
  1086.  
  1087.         EXERCICI 1
  1088.  
  1089.         Ara el programa dibuixarà a l'atzar una paràbola i  es tracta que
  1090.         trobar  l'equació (o  sigui:  els valors d'a,  b i c). (Nota: Fes
  1091.         tots els  càlculs que necessitis  amb fraccions i no  amb nombres
  1092.         decimals)
  1093.  
  1094.         La paràbola que tens a la  pantalla passa per  punts del reticle,
  1095.         fixa-t'hi bé i escriu:
  1096.  
  1097.                   Vèrtex        Punt on talla l'eix Y
  1098.  
  1099.                   ( , )               (0, )
  1100.  
  1101.         Pel fet de tallar l'eix Y en el punt (0, ) pots deduir que c=____
  1102.         i que l'equació de la paràbola serà de la forma 
  1103.  
  1104.                  y = ax2+ bx _____
  1105.  
  1106.         A  continuació,  recorda que l'abscissa del vèrtex es  pot deduir
  1107.         mitjançant la  fórmula x =  -b/2a,  substitueix "x" pel valor que
  1108.         has observat en la pantalla i aïlla la b en funció de a:
  1109.  
  1110.              b=
  1111.  
  1112.         Tenint present  aquesta  expressió,  l'equació  d'abans  es podrà
  1113.         escriure:
  1114.  
  1115.              y = ax2_________  i només et faltarà conèixer el valor de a.
  1116.  
  1117.         El  vèrtex  és  un  punt  de  la  paràbola  i,  doncs,  les seves
  1118.         coordenades  hauran  de satisfer l'equació  anterior. Substitueix
  1119.         "x" i "y" per les coordenades del vèrtex, resol l'equació que  en
  1120.         resulta i calcula el valor de a:
  1121.  
  1122.  
  1123.  
  1124.         La solució és a=____.   
  1125.  
  1126.         Finalment escriu l'equació de la paràbola que has calculat:
  1127.  
  1128.                   ┌───────────────────┐
  1129.                   │y =                │
  1130.                   └───────────────────┘
  1131.         Per  comprovar el  teu resultat,  prem  «─┘  per  activar l'opció
  1132.         CONTINUAR  i  observa  l'equació  que  dóna   la  màquina.  L'has
  1133.         encertat?
  1134.  
  1135.  
  1136.  
  1137.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 17
  1138.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1139.  
  1140.  
  1141.  
  1142.  
  1143.         Representació gràfica de paràboles
  1144.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1145.  
  1146.  
  1147.  
  1148.         Recordeu: Per passar a un altre cas, prem primer la barra d'espai
  1149.         per ESBORRAR  i després una altra vegada  la  tecla    «─┘ perquè
  1150.         dibuixi una altra paràbola.
  1151.  
  1152.         EXERCICI 2
  1153.  
  1154.         Resol el mateix problema d'abans,  fent servir ara la simetria de
  1155.         la paràbola en relació a la vertical que passa pel seu vèrtex.
  1156.  
  1157.         La paràbola que tens a la  pantalla passa per  punts del reticle.
  1158.         Com que el gràfic és simètric en relació a la  vertical que passa
  1159.         pel vèrtex pots deduir:
  1160.  
  1161.  
  1162.              Punt on talla        Coordenades       Punt simètric del
  1163.                l'eix Y              Vèrtex          punt d'intersecció
  1164.  
  1165.                ( , )                ( , )               ( , )
  1166.  
  1167.  
  1168.         Aquest tres  punts pertanyen a la  paràbola,  i  doncs, les seves
  1169.         coordenades hauran de satisfer-ne l'equació.
  1170.  
  1171.         Substitueix les coordenades dels punts anteriors  en l'equació de
  1172.         la paràbola i resol el sistema que n'obtinguis:
  1173.  
  1174.  
  1175.  
  1176.  
  1177.  
  1178.  
  1179.  
  1180.  
  1181.  
  1182.  
  1183.         Les solucions són : a=____ , b=______  i c=________. 
  1184.  
  1185.         Finalment escriu l'equació de la paràbola que has calculat:
  1186.  
  1187.                   ┌───────────────────┐
  1188.                   │y =                │
  1189.                   └───────────────────┘
  1190.  
  1191.         Per  comprovar el  teu resultat,  prem  «─┘  per  activar l'opció
  1192.         CONTINUAR  i  observa  l'equació  que  dóna   la  màquina.  L'Has
  1193.         encertat?
  1194.  
  1195.         Per passar  a un  altre cas,  prem  primer  la  barra d'espai per
  1196.         ESBORRAR i després una altra vegada la tecla   «─┘ perquè dibuixi
  1197.         una altra paràbola.
  1198.  
  1199.  
  1200.  
  1201.  
  1202.  
  1203.  
  1204.         18 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1205.            Programa d'Informàtica Educativa
  1206.  
  1207.  
  1208.  
  1209.  
  1210.                                        Representació gràfica de paràboles
  1211.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1212.  
  1213.  
  1214.         EXERCICI 3
  1215.  
  1216.         Resol  un  altre cop  el  mateix  problema,  però  utilitzant les
  1217.         diferents formes amb què s'expressa l'equació d'una paràbola.
  1218.  
  1219.  
  1220.         La paràbola que tens a la  pantalla passa per  punts del reticle,
  1221.         fixa-t'hi bé i escriu:
  1222.  
  1223.                   Vèrtex        Punt on talla l'eix Y
  1224.  
  1225.                   ( , )               (0, )
  1226.  
  1227.         Recorda que, en l'equació del tipus y = a(x-u)2+v, els paràmetres
  1228.         u i v representaven les coordenades del vèrtex de la paràbola. 
  1229.  
  1230.         Així, doncs, podràs escriure:
  1231.  
  1232.         y = a(x__)2__
  1233.  
  1234.         Per trobar el valor de   a, has de substituir les coordenades del
  1235.         punt d'intersecció de la paràbola amb l'eix Y  i,  a continuació,
  1236.         aïllar el valor de  a:
  1237.  
  1238.  
  1239.                            a=
  1240.  
  1241.         Escriu l'equació que has  calculat  i  converteix-la  a  la forma
  1242.         general  y = ax2+bx+c:
  1243.  
  1244.                 Equació de la paràbola           Equació general
  1245.  
  1246.                                                ┌───────────────────┐
  1247.                    y =                         │y =                │
  1248.                                                └───────────────────┘
  1249.  
  1250.         Per comprovar el  teu  resultat,  prem  «─┘  per  activar l'opció
  1251.         CONTINUAR  i  observa  l'equació  que  dóna   la  màquina.  L'has
  1252.         encertat?
  1253.  
  1254.         (Nota:  Si els punts on talla l'eix X són del  reticle,  també es
  1255.         pot resoldre utilitzant la forma y = a(x-x1)(x-x2) )
  1256.  
  1257.         Per passar  a un  altre cas,  prem  primer  la  barra d'espai per
  1258.         ESBORRAR i després una altra vegada la tecla   «─┘ perquè dibuixi
  1259.         una altra paràbola.
  1260.  
  1261.  
  1262.  
  1263.  
  1264.  
  1265.  
  1266.  
  1267.  
  1268.  
  1269.  
  1270.  
  1271.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 19
  1272.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1273.  
  1274.  
  1275.  
  1276.  
  1277.         Representació gràfica de paràboles
  1278.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1279.  
  1280.  
  1281.         EXERCICI 4
  1282.  
  1283.         Practica amb aquesta opció del programa  fins  que hi  tinguis un
  1284.         domini suficient,  per exemple,  fins  que hagis  endevinat  tres
  1285.         paràboles seguides.
  1286.  
  1287.         (Pots utilitzar qualsevol dels tres mètodes anteriors)
  1288.  
  1289.         Observa  molt  bé  els punts del reticle per  on  passen aquestes
  1290.         paràboles:  el vèrtex,  el punt  d'intersecció amb  l'eix  Y, els
  1291.         punts on talla l'eix X  (si en té i si es poden veure).
  1292.  
  1293.         Per a cadascuna de les paràboles escriu:
  1294.  
  1295.  
  1296.               Punts observats         Vèrtex          Equació general
  1297.  
  1298.                                       ( , )           y = 
  1299.  
  1300.                                       ( , )           y = 
  1301.  
  1302.                                       ( , )           y = 
  1303.  
  1304.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1305.         confirma amb   «─┘. Retrocedeix ara una vegada amb el signe
  1306.          ┌──┐
  1307.         «── │ fins que trobis l'opció DIBUIXAR.
  1308.          └──┘ 
  1309.  
  1310.  
  1311.  
  1312.  
  1313.  
  1314.  
  1315.  
  1316.  
  1317.  
  1318.  
  1319.  
  1320.  
  1321.  
  1322.  
  1323.  
  1324.  
  1325.  
  1326.  
  1327.  
  1328.  
  1329.  
  1330.  
  1331.  
  1332.  
  1333.  
  1334.  
  1335.  
  1336.  
  1337.  
  1338.         20 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1339.            Programa d'Informàtica Educativa
  1340.  
  1341.  
  1342.  
  1343.  
  1344.                                        Representació gràfica de paràboles
  1345.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1346.  
  1347.  
  1348.         2.4.4  Interseccions
  1349.  
  1350.         L'objectiu d'aquest apartat és la  interpretació gràfica d'alguns
  1351.         sistemes d'equacions de segon grau.
  1352.  
  1353.         EXERCICI 1
  1354.  
  1355.  
  1356.         Resol numèricament i gràficament el següent sistema d'equacions:
  1357.                      ┐
  1358.         y =  x2-3x+5 │
  1359.                      ├
  1360.         y =  -2x2+5  │
  1361.                      ┘
  1362.         Resol  en  primer  lloc  el   sistema   d'equacions   pel  mètode
  1363.         d'igualació, ja que en les dues equacions està aïllada la mateixa
  1364.         incògnita.
  1365.  
  1366.  
  1367.  
  1368.  
  1369.  
  1370.  
  1371.  
  1372.         N'obtindràs, com a solucions, parells de valors:
  1373.  
  1374.            x1=_____ , y1=_______        x2=______ , y2=______
  1375.  
  1376.  
  1377.         A  continuació,  activa  successivament  les  opcions  DIBUIXAR i
  1378.         PARÄBOLES, representa les dues equacions a la pantalla i comprova
  1379.         que es tallen precisament en els punts ( , ) i ( , ).
  1380.  
  1381.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1382.         confirma amb   «─┘
  1383.  
  1384.         EXERCICI 2
  1385.  
  1386.         De  la mateixa  manera,  resol numèricament i gràficament aquests
  1387.         dos sistemes d'equacions:
  1388.         a)             ┐                    b)              ┐
  1389.           y =  x2-3x+5 │                       y =  x2-3x+5 │            
  1390.                        ├                                    ├
  1391.           y =  2x2-x+8 │                       y =  x2+3x-1 │            
  1392.                        ┘                                    ┘
  1393.  
  1394.         a) Primer calcula la solució numèrica:
  1395.  
  1396.  
  1397.  
  1398.  
  1399.  
  1400.  
  1401.  
  1402.  
  1403.  
  1404.  
  1405.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 21
  1406.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1407.  
  1408.  
  1409.  
  1410.  
  1411.         Representació gràfica de paràboles
  1412.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1413.  
  1414.  
  1415.            Té solució? _____
  1416.            Representa  les dues paràboles  a la pantalla,  i comprova que
  1417.            ______________________
  1418.  
  1419.         b) Troba primer la solució numèrica:
  1420.  
  1421.  
  1422.  
  1423.  
  1424.  
  1425.            
  1426.  
  1427.            Té solució? _____   Quantes solucions té? _______________
  1428.            Representa  les dues paràboles  a la pantalla,  i comprova que
  1429.            ______________________
  1430.            
  1431.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1432.         confirma amb   «─┘. Retrocedeix ara dues vegades amb el signe
  1433.          ┌──┐
  1434.         «── │ fins a trobar l'opció IMATGE-ANTIIMATGE.
  1435.          └──┘
  1436.  
  1437.  
  1438.  
  1439.  
  1440.  
  1441.  
  1442.  
  1443.  
  1444.  
  1445.  
  1446.  
  1447.  
  1448.  
  1449.  
  1450.  
  1451.  
  1452.  
  1453.  
  1454.  
  1455.  
  1456.  
  1457.  
  1458.  
  1459.  
  1460.  
  1461.  
  1462.  
  1463.  
  1464.  
  1465.  
  1466.  
  1467.  
  1468.  
  1469.  
  1470.  
  1471.  
  1472.         22 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1473.            Programa d'Informàtica Educativa
  1474.  
  1475.  
  1476.  
  1477.  
  1478.                                        Representació gràfica de paràboles
  1479.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1480.  
  1481.  
  1482.         2.4.5  Imatges-Antiimatges
  1483.  
  1484.         EXERCICI 1
  1485.  
  1486.         Calcula imatges  i antiimatges corresponents a  diferents valors,
  1487.         mitjançant la funció que es dibuixa, a l'atzar, per l'ordinador.
  1488.  
  1489.         Activant  l'opció   IMATGE-ANTIIMATGE   l'ordinador  dibuixa  una
  1490.         paràbola a l'atzar i  et  mostra  l'equació  corresponent, mentre
  1491.         espera que teclegis un valor de  x o bé  un valor  de y.
  1492.  
  1493.         Dóna-li a "x"  un valor que es pugui visualitzar a la pantalla, i
  1494.         sense prémer «─┘ , calcula la seva imatge:
  1495.  
  1496.              x = ________  , y = _________
  1497.  
  1498.         Quan l'hagis obtingut,  prem «─┘ i compara el teu resultat amb el
  1499.         que et dóna el programa. L'has encertat?. Prem «─┘ per CONTINUAR.
  1500.  
  1501.         Dóna-li a "y"  un valor que es pugui visualitzar a la pantalla, i
  1502.         sense prémer «─┘ , calcula la seva antiimatge:
  1503.  
  1504.              y = _________ , x = ___________
  1505.  
  1506.         (Nota :  si la solució de l'equació  no és exacta,  dóna un valor
  1507.         aproximat amb l'ajuda d'una calculadora).
  1508.  
  1509.         Segons el valor que hagis donat a "y" et poden sortir dos, una  o
  1510.         cap antiimatge. Quantes solucions t'han sortit? Per què?
  1511.  
  1512.           ____________________________________________________________
  1513.  
  1514.         Quan l'hagis trobat,  confirma amb «─┘  i compara el teu resultat
  1515.         amb el que dóna la màquina. És el mateix? Prem «─┘ per CONTINUAR.
  1516.  
  1517.         Observant bé la gràfica,  digues un parell de valors de y  que no
  1518.         tinguin antiimatge:
  1519.  
  1520.              y = _________ , y = ___________
  1521.  
  1522.         De la mateixa manera digues un parell de valors que  tinguin dues
  1523.         antiimatges:
  1524.  
  1525.              y = _________ , y = ___________
  1526.  
  1527.         Quin hauria  de  ser el  valor de  y per  que  tingués  només una
  1528.         antiimatge ?  
  1529.  
  1530.              y = __________
  1531.  
  1532.         Quan hagis acabat, retrocedeix una vegada amb el signe
  1533.          ┌──┐
  1534.         «── │ fins que trobis l'opció DIBUIXAR.
  1535.          └──┘ 
  1536.  
  1537.  
  1538.  
  1539.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 23
  1540.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1541.  
  1542.  
  1543.  
  1544.  
  1545.         Representació gràfica de paràboles
  1546.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1547.  
  1548.  
  1549.         2.4.6  Inequacions de segon grau
  1550.  
  1551.         L'objectiu d'aquest  apartat  és  resoldre  inequacions  de segon
  1552.         grau,  representant gràficament la funció associada.
  1553.  
  1554.         EXERCICI 1
  1555.  
  1556.         Troba els nombres x que satisfan: x2-8x+12 ≥ 0.
  1557.  
  1558.         Utilitzant  l'opció PARÄBOLES,  representa  gràficament la funció
  1559.         y = x2-8x+12 a la pantalla i reprodueix-la en els eixos següents:
  1560.  
  1561.  
  1562.  
  1563.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1564.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1565.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1566.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1567.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1568.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1569.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1570.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  1571.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1572.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1573.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1574.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1575.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1576.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1577.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1578.  
  1579.  
  1580.         A continuació,  resol l'equació x2-8x+12  =  0 i comprova que les
  1581.         solucions coincideixen amb les abscisses dels punts d'intersecció
  1582.         de la paràbola amb l'eix X:
  1583.  
  1584.  
  1585.  
  1586.  
  1587.  
  1588.         Les solucions són : x = _____  i x = ______
  1589.  
  1590.         Els punts d'intersecció són : ( ,0) i ( ,0)
  1591.  
  1592.         Calcular per a quins valors  de  x es  compleix  x2-8x+12 ≥ 0  és
  1593.         equivalent a calcular els valors de x que tenen imatge positiva o
  1594.         nul·la  mitjançant la funció y = x2-8x+12.
  1595.  
  1596.         En  el  gràfic  pots  observar  que  la  paràbola  té  unes zones
  1597.         d'ordenada negativa,  unes altres d'ordenada nul·la i unes altres
  1598.         d'ordenada positiva.
  1599.  
  1600.         Remarca sobre la paràbola les zones d'ordenada positiva o nul·la,
  1601.         i sobre l'eix X les abscisses corresponents.  
  1602.  
  1603.  
  1604.  
  1605.  
  1606.         24 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1607.            Programa d'Informàtica Educativa
  1608.  
  1609.  
  1610.  
  1611.  
  1612.                                        Representació gràfica de paràboles
  1613.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1614.  
  1615.  
  1616.         Completa les frases següents:
  1617.  
  1618.         - Són solució de la inequació tots els nombres que satisfan 
  1619.  
  1620.           x≤ ___  i x≥ ___
  1621.  
  1622.         - Usant la notació d'intervals la solució serà:
  1623.                     
  1624.               (  ,  ] U [  ,  )
  1625.  
  1626.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1627.         confirma amb «─┘.
  1628.  
  1629.         EXERCICI 2
  1630.  
  1631.         De la mateixa manera, resol les inequacions següents:
  1632.  
  1633.         a) x2-4x+1 ≥ 0 ,   b) -2x2+6x ≥ 0   i    c) -x2+x-2 > 0
  1634.  
  1635.         a) Primer troba els punts d'intersecció amb l'eix X:
  1636.  
  1637.  
  1638.  
  1639.  
  1640.  
  1641.         Ara,   representa  la  funció  y  =  x2-4x+1   a  la  pantalla  i
  1642.         reprodueix-la en els eixos següents:
  1643.  
  1644.  
  1645.  
  1646.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1647.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1648.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1649.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1650.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1651.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1652.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1653.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  1654.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1655.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1656.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1657.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1658.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1659.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1660.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1661.  
  1662.  
  1663.            
  1664.  
  1665.         Remarca les zones d'ordenada positiva o nul·la  de  la paràbola i
  1666.         sobre l'eix X les abscisses corresponents. Escriu la solució:
  1667.  
  1668.                     (  ,    ] U [    ,  )
  1669.  
  1670.  
  1671.  
  1672.  
  1673.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 25
  1674.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1675.  
  1676.  
  1677.  
  1678.  
  1679.         Representació gràfica de paràboles
  1680.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1681.  
  1682.  
  1683.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1684.         confirma amb «─┘.
  1685.  
  1686.         b) Primer troba els punts d'intersecció amb l'eix X:
  1687.  
  1688.  
  1689.  
  1690.  
  1691.         Ara,   representa  la  funció  y = -2x2+6x    a  la   pantalla  i
  1692.         reprodueix-la en els eixos següents:
  1693.  
  1694.  
  1695.  
  1696.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1697.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1698.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1699.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1700.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1701.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1702.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1703.                 ┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
  1704.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1705.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1706.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1707.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1708.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1709.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1710.                 · · · · · · · · · · · · ┼ · · · · · · · · · · · · 
  1711.  
  1712.  
  1713.         Remarca les  zones d'ordenada positiva o nul·la  i sobre  l'eix X
  1714.         les abscisses corresponents. Escriu la solució:
  1715.  
  1716.                        [  ,  ]
  1717.  
  1718.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1719.         confirma amb «─┘.
  1720.  
  1721.         c) Primer troba els punts d'intersecció amb l'eix X:
  1722.  
  1723.  
  1724.  
  1725.  
  1726.         Ara, representa la funció y = -x2+x-2. Observa que la paràbola no
  1727.         talla l'eix X i que tots els seus punts tenen ordenada negativa.
  1728.  
  1729.         - Té solució? ______
  1730.         - Quina seria la solució de la inequació -x2+x-2 < 0 ? __________
  1731.  
  1732.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1733.         confirma amb «─┘. Retrocedeix fins a arribar a l'opció DIBUIXAR.
  1734.  
  1735.  
  1736.  
  1737.  
  1738.  
  1739.  
  1740.         26 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1741.            Programa d'Informàtica Educativa
  1742.  
  1743.  
  1744.  
  1745.  
  1746.                                        Representació gràfica de paràboles
  1747.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1748.  
  1749.  
  1750.         2.4.7  Problemes d'enunciat
  1751.  
  1752.         Es tracta de veure la utilitat de la representació  gràfica d'una
  1753.         funció, per  facilitar la resolució de problemes.
  1754.  
  1755.         EXERCICI 1
  1756.  
  1757.         Des d'una torre  es  llança  verticalment  cap  amunt  una pedra.
  1758.         L'altura (mesurada en metres)  a què  es troba la pedra  quan han
  1759.         transcorregut   t   segons després del llançament, ens la dóna la
  1760.         fórmula:
  1761.  
  1762.                           h(t) = - 5t2+10t+15
  1763.  
  1764.         a) Quina és l'altura de la torre?
  1765.         b) Quina és l'altura màxima a què arriba la pedra?
  1766.         c) Quant de temps triga a arribar a terra?
  1767.  
  1768.         Comença  representant  gràficament la  funció  y  =  -5x2 +10x+15
  1769.         activant successivament  les opcions  DIBUIXAR  i  PARÄBOLES. Amb
  1770.         quin problema et trobes?. Quin és el vèrtex d'aquesta paràbola? 
  1771.                        
  1772.                                 ( , )
  1773.         Per poder dibuixar  la  funció  sencera a la  pantalla  hauràs de
  1774.         canviar  d'escala.
  1775.  
  1776.         - Prem la  barra d'espai per passar  a l'opció ESCALA  i confirma
  1777.           amb «─┘. Selecciona, a continuació, l'opció CANVIAR.
  1778.         - El programa et demana els valors dels extrems del pla  que vols
  1779.           veure a la pantalla. 
  1780.         - Posa-hi: XE = 0 , XD = 10 , YI = 0 i YS = 25.
  1781.         - Prem «─┘ per CONTINUAR i torna a representar la paràbola.
  1782.  
  1783.         Reprodueix-la en els eixos següents:
  1784.  
  1785.  
  1786.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1787.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1788.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1789.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1790.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1791.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1792.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1793.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1794.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1795.                          ┼ · · · · · · · · · · · · · · · 
  1796.                          └─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼ 
  1797.  
  1798.  
  1799.         El temps està representat  sobre l'eix horitzontal i  l'altura en
  1800.         el vertical.
  1801.  
  1802.         Observant  bé  aquesta  gràfica,  podràs  resoldre  fàcilment  el
  1803.         problema:
  1804.  
  1805.  
  1806.  
  1807.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 27
  1808.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1809.  
  1810.  
  1811.  
  1812.  
  1813.         Representació gràfica de paràboles
  1814.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1815.  
  1816.  
  1817.         - L'altura de  la  torre correspon a l'altura  a què es  troba la
  1818.           pedra  quan  t=0.   La  torre  té,  doncs,  ___________  metres
  1819.           d'altura.
  1820.         - L'altura màxima  s'aconsegueix en  el  vèrtex i  és de ________
  1821.           metres.
  1822.         - La pedra és  a terra quan  l'altura  és  0,  i això  passa quan
  1823.           t=_____ . Triga, doncs, _______ segons a arribar-hi.
  1824.  
  1825.         Quan hagis acabat, prem la barra d'espai per passar a ESBORRAR, i
  1826.         confirma amb   «─┘. Retrocedeix amb el signe
  1827.          ┌──┐
  1828.         «── │ fins a trobar l'opció SORTIDA.
  1829.          └──┘  
  1830.  
  1831.  
  1832.  
  1833.  
  1834.  
  1835.  
  1836.  
  1837.  
  1838.  
  1839.  
  1840.  
  1841.  
  1842.  
  1843.  
  1844.  
  1845.  
  1846.  
  1847.  
  1848.  
  1849.  
  1850.  
  1851.  
  1852.  
  1853.  
  1854.  
  1855.  
  1856.  
  1857.  
  1858.  
  1859.  
  1860.  
  1861.  
  1862.  
  1863.  
  1864.  
  1865.  
  1866.  
  1867.  
  1868.  
  1869.  
  1870.  
  1871.  
  1872.  
  1873.  
  1874.         28 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1875.            Programa d'Informàtica Educativa
  1876.  
  1877.  
  1878.  
  1879.  
  1880.                                        Representació gràfica de paràboles
  1881.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1882.  
  1883.  
  1884.         2.4.8  Exercicis d'ampliació
  1885.  
  1886.         Resol els exercicis següents, usant el programa de paràboles quan
  1887.         et  sigui  necessari,   tant  per  resoldre  l'exercici  com  per
  1888.         comprovar-ne el resultat:
  1889.  
  1890.         1. Converteix les equacions de les paràboles donades  en la forma
  1891.            y = ax2+bx+c  a  les   altres  dues  formes   y = a(x-u)2+v  i
  1892.            y = a(x-x1)(x-x2), quan sigui possible, per a cadascuna de les
  1893.            paràboles:   y = 5x2+10x  ,   y = x2-8x+12  ,  y = x2-6x+13  ,
  1894.            y = -x2-4x-3 , y = 2x2-8x+6.
  1895.            
  1896.            Dibuixa  cadascuna  de  les  paràboles  i  observa   tant  les
  1897.            coordenades del vèrtex com els punts -si en té- on talla l'eix
  1898.            de les x.
  1899.            
  1900.         2. Determina les equacions de les paràboles determinades pels 
  1901.            punts:
  1902.  
  1903.            a) A(-1,0) , B(0,-2) , C(2,6)
  1904.            b) A(3,1/4) , B(-1,1/2) , C(1/2,0)
  1905.            
  1906.            Calcula,  mitjançant  un  sistema de  tres  equacions amb tres
  1907.            incògnites,  els valors  d'a,  b i c per  a  cadascuna  de les
  1908.            paràboles.  Després  dibuixa-la,  i  comprova  que  passa  per
  1909.            aquests punts.
  1910.  
  1911.         3. Resol les inequacions de segon grau:
  1912.            x2-5x+6 ≤ 0 , 2x ≤ x2+5x+1 , 3x > 2x2+3x+2 , 2x2-8x+15 < 0
  1913.  
  1914.            Dibuixa cadascuna de  les paràboles associades  i observa quan
  1915.            la y és  positiva,  negativa o nul·la.  En algunes inequacions
  1916.            hauràs de fer primer algunes transformacions. 
  1917.            
  1918.         4. Un  home té 100  m.  de filferro per tancar tres  costats d'un
  1919.            terreny rectangular (al llarg del quart costat passa un  riu i
  1920.            no cal tancar-lo).  Què ha de mesurar  el costat perpendicular
  1921.            al riu per què la superfície tancada sigui màxima?.
  1922.  
  1923.            Digues x a la dimensió del costat perpendicular al riu i  y, a
  1924.            la superfície del terreny. Expressa en funció de x la dimensió
  1925.            del costat paral·lel al riu i l'àrea del terreny:
  1926.            
  1927.            - Longitud del costat perpendicular: x
  1928.            - Longitud del costat paral·lel : ______________
  1929.            - Ärea del terreny rectangular: y = ________________________
  1930.            
  1931.            Representa   gràficament   aquesta   funció   de   segon  grau
  1932.            (necessitaràs fer un canvi d'escala,  per poder representar-la
  1933.            sencera a la pantalla) i dóna la resposta. 
  1934.  
  1935.  
  1936.  
  1937.  
  1938.  
  1939.  
  1940.  
  1941.  
  1942.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 29
  1943.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  1944.  
  1945.  
  1946.  
  1947.  
  1948.         Representació gràfica de paràboles
  1949.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1950.  
  1951.  
  1952.         3  PART III
  1953.  
  1954.         3.1  Anàlisi del programa
  1955.  
  1956.              Aquest  programa  permet  representar  paràboles  i estudiar
  1957.         diferents aspectes de la funció quadràtica. 
  1958.              
  1959.              Està  concebut   en  forma  de   menús  (DIBUIXAR,  DEMANAR,
  1960.         IMATGE-ANTIIMATGE)  i submenús,  en format horitzontal. Sempre hi
  1961.         ha una ajuda o informació,  a la qual es pot accedir  també abans
  1962.         de començar l'execució del programa amb  l'opció de DOCUMENTACIÖ.
  1963.         També hi ha sempre l'opció de retrocedir al menú anterior.
  1964.              
  1965.              El  programa  ofereix  també  la  possibilitat  de modificar
  1966.         l'escala de representació dels eixos,  i presenta  per defecte un
  1967.         reticulat quadricular que anomena ESTÄNDARD, que va de -15 a 15 a
  1968.         l'eix x, i de -10 a 10 a l'eix y.
  1969.              
  1970.              És convenient usar l'opció ESBORRAR entre dos  exercicis per
  1971.         a més claredat.
  1972.              
  1973.              El  programa  és  força amable  en  la  seva  interacció amb
  1974.         l'usuari.  No obstant,  alguns aspectes es podrien millorar per a
  1975.         obtenir-ne un rendiment més gran:
  1976.              
  1977.              - A l'opció IMATGE-ANTIIMATGE,  és el programa qui escriu la
  1978.                paràbola,  a l'atzar,  amb coeficients que algunes vegades
  1979.                són poc pràctics.  
  1980.              
  1981.              - A l'opció DEMANAR també acostumen a  sortir  paràboles amb
  1982.                coeficients fraccionaris  que,  de vegades, obliguen a fer
  1983.                càlculs  una mica llargs (sobretot quan  es  fa servir una
  1984.                opció de l'escala diferent de l'ESTÄNDARD).
  1985.  
  1986.  
  1987.         3.2  Anàlisi del full de pràctiques
  1988.  
  1989.              La fitxa de pràctiques ha  estat elaborada intentant  fer un
  1990.         estudi molt complet de les funcions de segon grau i aprofitant al
  1991.         màxim les possibilitats que aquest programa ofereix.
  1992.              
  1993.              Així,  ha resultat  una fitxa molt  exhaustiva,  que  es pot
  1994.         utilitzar  en diferents anys i en  diferents moments  d'un mateix
  1995.         curs. 
  1996.              
  1997.              De  les  possibles  maneres  de  realitzar  pas   a  pas  la
  1998.         representació gràfica  d'una  paràbola,  s'ha  escollit  la forma
  1999.         general y = ax2+bx+c que s'adapta més bé   a les característiques
  2000.         d'aquest  programa.  La  utilització   pas  a  pas  de  la  forma
  2001.         y = a(x-u)2+v,  obliga  l'alumne  a fer  força  càlculs  previs a
  2002.         l'entrada de dades i això allarga molt el procés.
  2003.              
  2004.  
  2005.  
  2006.  
  2007.  
  2008.  
  2009.         30 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  2010.            Programa d'Informàtica Educativa
  2011.  
  2012.  
  2013.  
  2014.  
  2015.                                        Representació gràfica de paràboles
  2016.         ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  2017.  
  2018.  
  2019.              Aquesta   fitxa   s'ha   desenvolupat   seguint   el  mètode
  2020.         experimental  per tal que els  alumnes  vagin  traient  les seves
  2021.         pròpies conclusions.  S'han deixat  espais en blanc  per posar-hi
  2022.         resultats parcials,  i  s'han emmarcat  uns resums  teòrics com a
  2023.         conclusions.  També s'han deixat  espais per tal  que els alumnes
  2024.         representin manualment les  diverses paràboles que  van sortint a
  2025.         la  pantalla;  primer,  perquè  creiem  que la  tècnica  de saber
  2026.         representar una paràbola  usant el  paper i el  llapis  no es pot
  2027.         suplir amb l'ordinador i també perquè, d'aquesta manera, la fitxa
  2028.         pot servir d'apunts a l'hora de repassar.
  2029.              
  2030.              No  es  dóna  una distribució  per  sessions,  ja  que  cada
  2031.         professor pot escollir  les parts de  la fitxa  que consideri més
  2032.         adients    en cada moment i el  nombre de sessions  que consideri
  2033.         més adequat per als seus  alumnes.  Com a orientació  podríem dir
  2034.         que,  en un primer contacte amb les funcions quadràtiques, potser
  2035.         n'hi hauria prou treballant l'apartat 2.4.1  en una sessió  i fer
  2036.         els apartats  posteriors  en  diferents moments.  Si s'utilitza a
  2037.         segon curs,  es pot començar directament per l'apartat 2.4.2, com
  2038.         a repàs, i fer després els apartats següents.
  2039.              
  2040.              És convenient  tenir una  llista  d'exercicis complementaris
  2041.         per als alumnes que  acabin  més  aviat,  perquè  puguin  usar el
  2042.         programa com a eina auxiliar (apartats 2.4.7 i 2.4.8).
  2043.  
  2044.  
  2045.         3.3  Anàlisi de l'experiència
  2046.  
  2047.              L'experiència  ha resultat força positiva  en  el sentit que
  2048.         els alumnes assoleixen  bé  els conceptes  exposats,  sobretot la
  2049.         relació que  hi  ha  entre  els  coeficients  de  l'equació  i la
  2050.         gràfica d'una funció de segon grau. 
  2051.              
  2052.              No obstant això,  no es pot pensar que amb aquesta fitxa els
  2053.         alumnes ja  adquiriran  un  domini  suficient.  Com sempre que es
  2054.         treballa  a   l'ordinador   en  grup,   l'inconvenient  principal
  2055.         consisteix en  la  possibilitat  que alguns  alumnes  adoptin una
  2056.         actitud  passiva i deixin  que algun  company  més  espavilat els
  2057.         resolgui la feina.
  2058.              
  2059.              Per aconseguir  un  resultat  òptim,  considerem que és molt
  2060.         important el treball posterior a l'aula,  on el professor farà un
  2061.         seguiment detallat del que es pretén a cadascun dels apartats.  
  2062.  
  2063.  
  2064.  
  2065.  
  2066.  
  2067.  
  2068.  
  2069.  
  2070.  
  2071.  
  2072.  
  2073.  
  2074.  
  2075.  
  2076.         ─────────────────────────────────────────────────────────────── 31
  2077.                                        Programa d'Informàtica Educativa
  2078.  
  2079.  
  2080.  
  2081.