home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Sinera en Disc / 1993_Sinera.iso / docs / manutxt / limlat.txt < prev    next >
Text File  |  1993-03-10  |  36KB  |  1,407 lines
  1.  
  2.  
  3.                                                                            
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.                               LÆMITS LATERALS 
  13.  
  14.                                 D'UNA FUNCIÖ
  15.  
  16.  
  17.  
  18.                                 Claudi Aguadé
  19.                
  20.                                    Març 92
  21.  
  22.  
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27.           Aquests materials van adreçats a donar suport a les activitats de
  28.           l'assignatura   de   matemàtiques   realitzades   utilitzant  els
  29.           ordinadors i el software distribuït 
  30.  
  31.  
  32.           Autor: Claudi Aguadé
  33.  
  34.           Títol del programa: LIMLAT
  35.           Autor del programa: Joaquím Castellsaguer i Guanyabens
  36.  
  37.  
  38.           
  39.           
  40.           
  41.           
  42.           
  43.           
  44.           
  45.           
  46.           
  47.           
  48.           
  49.           
  50.           
  51.           Generalitat de Catalunya
  52.           Departament d'Ensenyament
  53.           Programa d'Informàtica Educativa
  54.  
  55.  
  56.  
  57.  
  58.  
  59.  
  60.  
  61.  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70.                                                Límits laterals d'una funció
  71.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  72.  
  73.  
  74.           ÆNDEX
  75.  
  76.  
  77.           1  PART I  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    3
  78.              1.1  Dades generals del programa  . . . . . . . . . . . .    3
  79.              1.2  Dades generals de la fitxa . . . . . . . . . . . . .    3
  80.              1.3  Dades pedagògiques . . . . . . . . . . . . . . . . .    3
  81.                 1.3.1  Coneixements previs . . . . . . . . . . . . . .    3
  82.                 1.3.2  Inserció curricular . . . . . . . . . . . . . .    3
  83.                 1.3.3  Objectius . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    4
  84.  
  85.           2  PART II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    5
  86.              2.1  Presentació del programa . . . . . . . . . . . . . .    5
  87.              2.2  Com desplaçar-se pel programa  . . . . . . . . . . .    5
  88.              2.3  Com entrar dades numèriques  . . . . . . . . . . . .    5
  89.              2.4  Representació de rectes  . . . . . . . . . . . . . .    6
  90.                 2.4.1  Forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . .    6
  91.                 2.4.2  Forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . .   10
  92.                 2.4.3  Dos punts . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13
  93.                 2.4.4  Família de rectes . . . . . . . . . . . . . . .   15
  94.                 2.4.5  Exercicis complementaris  . . . . . . . . . . .   17
  95.  
  96.           3  PART III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19
  97.              3.1  Anàlisi del programa . . . . . . . . . . . . . . . .   19
  98.              3.2  Anàlisi del full de pràctiques . . . . . . . . . . .   19
  99.              3.3  Anàlisi de l'experiència . . . . . . . . . . . . . .   20 
  100.  
  101.  
  102.  
  103.  
  104.  
  105.  
  106.  
  107.  
  108.  
  109.  
  110.  
  111.  
  112.  
  113.  
  114.  
  115.  
  116.  
  117.  
  118.  
  119.  
  120.  
  121.  
  122.  
  123.  
  124.  
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130.  
  131.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 1
  132.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  133.  
  134.  
  135.  
  136.  
  137.                                                Límits laterals d'una funció
  138.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  139.  
  140.  
  141.           1  PART I
  142.  
  143.           1.1  Dades generals del programa
  144.  
  145.           Títol: LIMLAT
  146.  
  147.           Tema:  Representació  i càlcul  dels  límits laterals en  un punt
  148.           finit  d'una  funció  escollida  dins   d'un  conjunt  d'exemples
  149.           proposats.
  150.  
  151.           Programa  distribuït en el  Segon Mostrari  de Software Educatiu,
  152.           disc 11.
  153.  
  154.  
  155.           1.2  Dades generals de la fitxa
  156.  
  157.           Tema :  Utilització dels límits  laterals per a  la comprensió de
  158.                   les funcions més usuals  en l'anàlisi.
  159.  
  160.           Nivell: ¢ltim  cicle  de  l'Ensenyament  Secundari  Obligatori  i
  161.                   Ensenyament Secundari Postobligatori.
  162.  
  163.  
  164.  
  165.           1.3  Dades pedagògiques
  166.  
  167.           1.3.1  Coneixements previs
  168.  
  169.           Per poder realitzar aquesta pràctica és convenient, previament:
  170.  
  171.                - Introduir el concepte de funció real de variable real. 
  172.                - Realitzar representacions gràfiques de funcions. 
  173.                - Definir el domini d'una funció. 
  174.                - Remarcar l'existència de punts de discontinuïtat.   
  175.                - Introduir el concepte de límit d'una funció en un punt del
  176.                  seu domini. 
  177.  
  178.  
  179.           1.3.2  Inserció curricular
  180.  
  181.           És important aconseguir una discussió a classe sobre com es poden
  182.           calcular límits en punts que no  són del domini,  fer  veure que,
  183.           aleshores,  aquets punts no tenen imatge i plantejar a on anirà a
  184.           parar la successió continuada d'imatges.
  185.  
  186.           La fitxa pot ser  utilitzada  per  introduir  la  noció  de límit
  187.           lateral  sense haver  introduït  aquest  concepte  a  classe; per
  188.           mitjà del  càlcul  successiu  d'imatges  es  pretén  que l'alumne
  189.           intueixi  el  que passa en  els  punts  de  discontinuïtat  de la
  190.           funció,  i deduir,  si és possible, els límits laterals en aquell
  191.           punt.  A més,  també es  poden treballar les  funcions  com Valor
  192.           absolut,    Part  entera...  i  els  punts  de  discontinuïtat de
  193.           funcions.
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 3
  199.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  200.  
  201.  
  202.  
  203.  
  204.           Límits laterals d'una funció
  205.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  206.  
  207.  
  208.           La primera sessió es pot situar en  les   primeres classes que es
  209.           donaran sobre funció.  Les  altres  sessions  es  poden realitzar
  210.           durant de tot l'estudi  de  funcions.  Donat que les funcions són
  211.           moltes i diverses,  es pot recuperar part de la fitxa en explicar
  212.           la  discontinuïtats,  els punts aïllats,  la funció exponencial i
  213.           logarítmica, les funcions trigonomètriques, etc.
  214.  
  215.           Cal tenir present  que el programa és molt estàtic, i per tant ni
  216.           l'alumne ni el professor no podran activar la funció que vulguin,
  217.           per això  cal que el  professor tingui present  -en cas d'adaptar
  218.           la fitxa al desenvolupament de la classe-  el fullet d'explicació
  219.           del  programa  LIMLAT   el qual  va  enviar  el  PIE junt  amb el
  220.           programa  de  les  EAO,  on  al  final  hi  ha  representades les
  221.           vint-i-cinc funcions que té el programa.
  222.  
  223.           Després   de   l'exercici-exemple   detallat,   suggerir  algunes
  224.           preguntes que cal fer a l'alumne. Opinem que poden ser aquestes o
  225.           altres  que el  professor cregui  més  adequades  segons  la seva
  226.           exposició.   El  llibre  del   programa  exposa  un   criteri  de
  227.           classificació de les funcions segons el que es vol a cada moment.
  228.           Recomanem que el  professor en  faci la seva  pròpia tria. Aquest
  229.           programa pot ser usat més d'una vegada a diferents nivells.  
  230.  
  231.  
  232.           1.3.3  Objectius
  233.  
  234.           Aconseguir   que   l'alumne   conegui   diverses  representacions
  235.           gràfiques de funcions.  Que l'alumne visualitzi  els conceptes de
  236.           límit  en  un  punt i  introduir-lo,  suaument, en el concepte de
  237.           continuïtat,    discontinuïtat    evitable    i     assimptòtica,
  238.           visualització de funcions a trossos, funció valor absolut, funció
  239.           part entera.
  240.  
  241.           Per aconseguir-ho cal plantejar-se més d'una sessió amb més d'una
  242.           fitxa de treball.
  243.  
  244.  
  245.           1.4  Funcionament del programa
  246.  
  247.           És important que el professor conegui el programa  informàtic que
  248.           vol fer utilitzar als alumnes  de la seva  classe. Aquí indicarem
  249.           alguns aspectes  què ens podem trobar  al  programa.  
  250.  
  251.           Escollit un exemple se'ns pregunta:
  252.  
  253.           Voleu modificar la posició dels eixos d'abscisses (S/N)?
  254.  
  255.           Si  elegiu  S  surt  una  indicació  per  fer  moure  l'origen de
  256.           coordenades amunt o avall amb les tecles grises de  +  i -, i per
  257.           acabar es prem P.  Fet això es  modifica la gràfica de  la manera
  258.           desitjada. Normalment no cal fer-ho.
  259.  
  260.  
  261.  
  262.  
  263.  
  264.  
  265.           4 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  266.            Programa d'Informàtica Educativa
  267.  
  268.  
  269.  
  270.  
  271.                                                Límits laterals d'una funció
  272.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  273.  
  274.  
  275.           Si escolliu N en la pregunta anterior, us demana si l'exemple que
  276.           voleu realitzar és  aquell,  en cas afirmatiu  premen  S,  en cas
  277.           negatiu premen  N.  En aquest últim cas us  demanarà introduir un
  278.           nou número d'exemple.
  279.  
  280.           Us demana que entreu l'abscissa objectiu d'estudi,  és el punt on
  281.           ens interessarà calcular el límit lateral.  El programa indica si
  282.           aquest punt té imatge o no,  en cas afirmatiu la dóna, i pregunta
  283.           quin límit lateral voleu  per  la  dreta  o  per  l'esquerra. Cal
  284.           entrar també l'abscissa del  punt des que  comenceu a acostar-vos
  285.           al punt objectiu.
  286.  
  287.           Surt en pantalla un esquema on apareixen els valors de l'abscissa
  288.           i el de les seves imatges així que ens acostem  al punt objectiu.
  289.           Les fletxes esquerra i dreta  mouen el punt,  les verticals donen
  290.           la imatge del punt.
  291.  
  292.           Quan arribeu prop  del  punt  indica  que  la  gràfica  no permet
  293.           representar més  punts,  si voleu trobar més valors  ho podeu fer
  294.           polsant V, sinó caldrà polsar L i donarà el límit directament.
  295.           En polsar V indica quin és l'últim punt trobat i  la seva imatge,
  296.           i diu cóm calcula  les  imatges  a  partir  d'aquell  moment. Cal
  297.           polsar C per fer-ho i L per saber el límit.
  298.           Vist l'exemple surt  un  menú que  demana seguir amb aquest  o un
  299.           altre exemple o sortir del programa.*
  300.  
  301.           MEN¢:  
  302.             G : Retorn a la gràfica
  303.             C : Canvi de costat
  304.             O : Canvi d'objectiu
  305.             E : Canvi d'exemple
  306.             F : Final
  307.  
  308.  
  309.  
  310.  
  311.  
  312.  
  313.  
  314.  
  315.  
  316.  
  317.  
  318.  
  319.  
  320.  
  321.  
  322.  
  323.  
  324.  
  325.  
  326.  
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 5
  333.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  334.  
  335.  
  336.  
  337.  
  338.           Límits laterals d'una funció
  339.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  340.  
  341.  
  342.           2  PART II
  343.  
  344.           2.1  Presentació del programa
  345.  
  346.           A través del Sèsam escolliu successivament les  opcions Programes
  347.           Educatius, Matemàtiques i el programa LIMLAT.
  348.  
  349.           Podeu sortir  del programa  des del menú    o  bé  polseu   F1 en
  350.           qualsevol moment de la seva execució. 
  351.  
  352.           El programa no té pantalles  extres d'ajuda.  El programa us farà
  353.           preguntes,  per contestar-les només caldrà polsar  una tecla, per
  354.           exemple  S per SI.  No cal  tenir  el  teclat  en  majúscules per
  355.           contestar.
  356.  
  357.           Si us demana una entrada numèrica  cal que sigui un  nombre enter
  358.           (exemple 5) o un nombre decimal (exemple 2,54).
  359.  
  360.  
  361.           2.2  Exercici-exemple
  362.  
  363.           Anem a estudiar la funció F(x)=x+1/x (exemple número 1),  la qual
  364.           té un  punt  x=0  que  no  pertany al  domini  de  la funció. Ens
  365.           interessa saber què  passa amb la  funció quan ens apropem  cap a
  366.           aquest punt conflictiu.
  367.  
  368.           Això  que farem és  estudiar el comportament  de la funció  en un
  369.           entorn d'aquest punt i estudiar els límits laterals de  la funció
  370.           en  aquest punt.  
  371.  
  372.           Durant aquest exercici trobareu espais amb una ratlla cal que els
  373.           aneu omplint degudament.
  374.  
  375.           Passada  la pantalla de  presentació i les breus  instruccions de
  376.           programa, que sempre cal llegir-se, se us demana que introduïu el
  377.           número de la funció exemple. 
  378.  
  379.                Polseu  1  <──┘
  380.  
  381.           És molt  important que us  fixeu en  aquesta  pantalla.  Teniu la
  382.           representació  gràfica de  la  funció  en un quadre  en la meitat
  383.           esquerra de  la  pantalla.  Teniu  l'equació de  la  funció en un
  384.           quadre en la part inferior dreta de la pantalla. 
  385.  
  386.           Fixeu-vos que el que posa és:
  387.  
  388.                   ┌──────────────┐
  389.                   │ xε(-4,4)-{0} │
  390.                   │ x + 1/x      │
  391.                   └──────────────┘
  392.  
  393.           significa  que  s'estudiarà  la  funció:  
  394.                
  395.                F(x) = x + 1/x amb xε]-4,4[-{0} 
  396.  
  397.  
  398.  
  399.           6 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  400.            Programa d'Informàtica Educativa
  401.  
  402.  
  403.  
  404.  
  405.                                                Límits laterals d'una funció
  406.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  407.  
  408.  
  409.  
  410.           Observeu que la funció es   defineix en un interval obert excepte
  411.           en un  punt,  escriviu a continuació en  quin interval és  i quin
  412.           punt treus:
  413.  
  414.           Interval:___________ ;  Punt:________
  415.  
  416.           El programa  us  pregunta  si voleu canviar  l'eix d'abcisses, la
  417.           resposta que cal donar és  no  perquè sinó tindreu una  pèrdua de
  418.           representació gràfica.
  419.  
  420.                Polseu  N     
  421.  
  422.           La resposta  a  la  següent  pregunta:  Voleu  fer  servir aquest
  423.           exemple? és sí.
  424.                
  425.                Polseu  S
  426.  
  427.           Caldrà indicar ara l'abcissa del  punt  objectiu  d'estudi (0,0),
  428.           que és  0.
  429.  
  430.                Polseu  0  <──┘   
  431.  
  432.           Mireu bé la pantalla i observeu la informació nova que ha sortit,
  433.           és valuosa i per indicar-ho es posa en majúscules.  Us indica que
  434.           el punt A no té imatge, per què penses que és així?
  435.  
  436.  
  437.                ─────────────────────────────────────────────
  438.                
  439.  
  440.                ─────────────────────────────────────────────
  441.  
  442.           Calcularem ara el límit lateral per l'esquerra:
  443.                
  444.                Polseu  E
  445.  
  446.           Ara indicarem des de quin punt  ens cal acostar-nos a  0. Llegeix
  447.           la pantalla i veuràs que cal escriure un valor entre -4  i 0, ara
  448.           posarem el -2.
  449.  
  450.                Polseu  -2 <──┘
  451.  
  452.           La pantalla ha canviat.  A la  gràfica hi ha una  ratlla vermella
  453.           que correspon al punt -2 i  un quadrat petit vermell a 0.
  454.  
  455.           Per què creus que a 0 es col.loca aquest quadrat?
  456.  
  457.  
  458.                ─────────────────────────────────────────────
  459.                
  460.  
  461.                ─────────────────────────────────────────────
  462.                
  463.  
  464.  
  465.  
  466.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 7
  467.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  468.  
  469.  
  470.  
  471.  
  472.           Límits laterals d'una funció
  473.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  474.  
  475.  
  476.           Sota la gràfica s'indica com podeu "moure"  el punt -2 cap a zero
  477.           amb  les tecles  ─»  i «─,  i  com podeu  calcular  la  imatge de
  478.           qualsevol valor de l'abscissa  i .
  479.            
  480.           Si  utilitzeu  aquestes  fletxes  veureu  com  es  va  omplint el
  481.           rectangle que hi ha a la dreta de la gràfica. Escriviu a la taula
  482.           de més avall l'abscissa  i la  seva  imatge  d'uns  quants punts,
  483.           segons els aneu obtenint en pantalla.
  484.  
  485.                     x                    F(x)
  486.                ───────────────────────────────────
  487.                
  488.                  ────────                ────────
  489.                
  490.                  ────────                ────────
  491.                
  492.                  ────────                ────────
  493.                
  494.                  ────────                ────────
  495.                
  496.                  ────────                ────────
  497.                
  498.           Continueu amb les tecles de cursor,  observeu que en el moment en
  499.           què la  ratlla  vermella  arriba  al quadradet del  0 la pantalla
  500.           torna a canviar.  
  501.  
  502.           Ara estem en  un  entorn  del 0,  com s'ha indicat  abans. Com no
  503.           podreu seguir  representant  els  valors,  el  programa  ens dona
  504.           l'opció de seguir donant valors per veure si la  funció tendeix a
  505.           algun punt.
  506.  
  507.                Polseu  V  
  508.  
  509.           Dóna  l'última  abscissa  calculada amb  el  valor  de  la   seva
  510.           imatge.
  511.  
  512.                Polseu  < barra d'espai>
  513.                Polseu  C
  514.  
  515.           Dóna un valor de la seva abscissa i la seva imatge.
  516.  
  517.                Polseu  C  (10 vegades)
  518.  
  519.           Observeu la pantalla i veureu que surten algunes abscisses iguals
  520.           amb imatges diferents.  Això  és perquè el  programa treballa amb
  521.           una aproximació decimal superior a la que surt  en pantalla.  
  522.  
  523.           Ara haureu de pensar  quin és el  límit per l'esquerra  del 0, el
  524.           teniu? 
  525.  
  526.           Escriviu-lo aquí. __________
  527.  
  528.                Polseu  L    
  529.  
  530.  
  531.  
  532.  
  533.           8 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  534.            Programa d'Informàtica Educativa
  535.  
  536.  
  537.  
  538.  
  539.                                                Límits laterals d'una funció
  540.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  541.  
  542.  
  543.           Llegiu la  pantalla  i comproveu que  la  vostra  resposta  és la
  544.           correcta.
  545.  
  546.                Polseu  <barra d'espai>
  547.  
  548.           En aquest menú cal escollir  l'opció canviar de  costat per poder
  549.           fer l'estudi complet.
  550.  
  551.                Polseu  C    
  552.  
  553.           Observeu que ara apareix una pantalla coneguda, ara cal elegir el
  554.           límit lateral per la dreta.
  555.  
  556.                Polseu  D   
  557.                
  558.           Elegirem ara el punt 2, per simetria amb l'elecció anterior, i si
  559.           és possible  aturar-nos  en  punts  similars  als  d'abans podrem
  560.           comparar els valors de la funció.
  561.  
  562.                Polseu  2   <──┘    
  563.  
  564.           Feu servir  les tecles  de  cursor  ─»,  «─,  i , i  com abans,
  565.           apuntar els resultat en l'espai següent:
  566.  
  567.                     x                    F(x)
  568.                ───────────────────────────────────
  569.                
  570.                  ────────                ────────
  571.                
  572.                  ────────                ────────
  573.                
  574.                  ────────                ────────
  575.                
  576.                  ────────                ────────
  577.                
  578.                  ────────                ────────
  579.  
  580.           En canviar de pantalla polseu V per veure més valors
  581.  
  582.                Polseu  V
  583.                Polseu  <barra d'espai>
  584.                Polseu   C  (varies vegades)
  585.                
  586.           Escriviu ara quin creieu que pot ser el  límit:_________
  587.                
  588.                Polseu  L
  589.                
  590.           Comproveu que el límit del programa coincideix amb el vostre.
  591.  
  592.                Polseu  <barra d'espai>
  593.  
  594.           Abans de continuar atureu-vos una mica a reflexionar.
  595.  
  596.  
  597.  
  598.  
  599.  
  600.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 9
  601.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  602.  
  603.  
  604.  
  605.  
  606.           Límits laterals d'una funció
  607.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  608.  
  609.  
  610.           Ara  heu vist  com funciona  aquest programa amb  l'ajut d'aquest
  611.           exemple detallat.  
  612.  
  613.           Abans de seguir penseu que esteu en una classe  de matemàtiques i
  614.           quins conceptes de l'assignatura heu vist:
  615.                
  616.                - Si un punt és o no del domini de la funció.
  617.                - Que podeu saber quins valors agafa la funció en  un costat
  618.                  del punt, i això us porta a intuir el seu límit per aquell
  619.                  costat.
  620.                - Que l'aproximació de càlcul i l'aproximació escrita  no té
  621.                  per què coincidir. 
  622.  
  623.  
  624.           2.3  Exercicis
  625.  
  626.           A)  Model 1
  627.  
  628.           Utilitzeu   el model 1 per realitzar l'estudi dels exemples 2, 9,
  629.           10, 11. 
  630.  
  631.           Calculeu el límit als punt conflictius.
  632.  
  633.  
  634.  
  635.           B)  Model 2
  636.  
  637.           Utilitzeu  el  model  2  per  realitzar  l'estudi  dels  exemples
  638.           següents a l'interval indicat
  639.  
  640.           1. Exemple 6.  Interval (-4,4)
  641.  
  642.           2. Exemple 7.  Interval (-2,4)   
  643.  
  644.  
  645.  
  646.           C)  Model 3
  647.  
  648.           Utilitzeu  el  model  3,  per  realitzar  l'estudi  dels exemples
  649.           següents,  i  en  el  mateix  full completeu  les respostes. 
  650.  
  651.           1. Exemple 22. 
  652.  
  653.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  654.           Quin és el límit en el punt x=0?
  655.  
  656.  
  657.                ─────────────────────────────────────────────
  658.  
  659.           Si amplieu l'interval de presentació creieu que la funció deixarà
  660.           de ser una recta?
  661.  
  662.                
  663.                ─────────────────────────────────────────────
  664.  
  665.  
  666.  
  667.           10 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  668.            Programa d'Informàtica Educativa
  669.  
  670.  
  671.  
  672.  
  673.                                                Límits laterals d'una funció
  674.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  675.  
  676.  
  677.  
  678.  
  679.           2. Exemple  16.
  680.  
  681.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb: 
  682.  
  683.           Observeu que això és una funció definida a trossos.  Quant val la
  684.           funció al punt x=1?
  685.  
  686.  
  687.                ─────────────────────────────────────────────
  688.  
  689.           Quant creieu que val l'ordenada  màxima  que es veu,  més o menys
  690.           de 4?
  691.                
  692.                
  693.                ─────────────────────────────────────────────
  694.  
  695.  
  696.           3. Exemple 17. 
  697.  
  698.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  699.  
  700.           Dibuixeu en un paper a banda les  tres funcions a trossos  que hi
  701.           ha.
  702.  
  703.           4. Exemple 20. 
  704.  
  705.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  706.           Indiqueu quins són els màxims absoluts i relatius,  si n'hi ha, i
  707.           el mínim absolut i relatiu, si n'hi ha, d'aquesta funció.
  708.  
  709.               
  710.                ─────────────────────────────────────────────
  711.                
  712.                
  713.                ─────────────────────────────────────────────
  714.  
  715.  
  716.  
  717.           D) 
  718.  
  719.  
  720.           L'objectiu   d'aquest  apartat   és  introduir   i  reforçar  els
  721.           conceptes  de  continuïtat  i  discontinuïtat,  fent  observar  a
  722.           l'alumne la  importància  que  tenen  en  el  càlcul  dels límits
  723.           laterals.  
  724.  
  725.           També es fa incidència sobre  els conceptes i la  localització de
  726.           màxims i mínims,  tan absoluts com relatius,  de les  funcions en
  727.           estudi.
  728.  
  729.           Algunes d'aquestes funcions s'estudiaran així que avanci el curs.
  730.  
  731.  
  732.  
  733.  
  734.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 11
  735.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  736.  
  737.  
  738.  
  739.  
  740.           Límits laterals d'una funció
  741.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  742.  
  743.  
  744.  
  745.           1. Exemple 11. 
  746.  
  747.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  748.           Classifiqueu la discontinuïtat existent al punt 0
  749.                
  750.  
  751.                ─────────────────────────────────────────────
  752.                
  753.           Com podeu evitar la discontinuïtat existent al punt 0:
  754.  
  755.  
  756.                ─────────────────────────────────────────────
  757.                
  758.  
  759.           Escriviu el màxim relatiu i els màxims absoluts d'aquesta funció
  760.  
  761.  
  762.                ─────────────────────────────────────────────
  763.                
  764.  
  765.           Escriviu el mínim relatiu i els mínims absoluts d'aquesta funció
  766.  
  767.  
  768.                ─────────────────────────────────────────────
  769.                
  770.  
  771.           2. Exemple 22. 
  772.  
  773.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  774.           Com podeu redefinir el 0 per fer la discontinuïtat evitable:
  775.  
  776.  
  777.                ─────────────────────────────────────────────
  778.                
  779.           Escriviu el màxim relatiu i els màxims absoluts d'aquesta funció:
  780.  
  781.  
  782.                ─────────────────────────────────────────────
  783.                
  784.  
  785.           Escriviu el mínim relatiu i els mínims absoluts d'aquesta funció:
  786.  
  787.  
  788.                ─────────────────────────────────────────────
  789.  
  790.           3. Exemple 23. 
  791.  
  792.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  793.           Observeu els límits laterals de -2 i 2. Són finits o no ho són?
  794.  
  795.  
  796.                ─────────────────────────────────────────────
  797.  
  798.  
  799.  
  800.  
  801.           12 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  802.            Programa d'Informàtica Educativa
  803.  
  804.  
  805.  
  806.  
  807.                                                Límits laterals d'una funció
  808.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  809.  
  810.  
  811.           Creieu que  podem   evitar  aquesta  discontinuïtat?
  812.  
  813.  
  814.                ─────────────────────────────────────────────
  815.  
  816.           Com  es  diuen aquest  tipus de  discontinuïtat?
  817.  
  818.  
  819.                ─────────────────────────────────────────────
  820.  
  821.           Escriviu el màxim relatiu i els màxims absoluts d'aquesta funció:
  822.  
  823.  
  824.                ─────────────────────────────────────────────
  825.  
  826.           Escriviu el mínim relatiu i els mínims absoluts d'aquesta funció:
  827.  
  828.  
  829.                ─────────────────────────────────────────────
  830.                
  831.           4. Exemple 24. 
  832.  
  833.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  834.           Calculeu els límits laterals dels punts conflictius que hi  ha en
  835.           aquesta gràfica,  utilitzeu el  programa per comprovar  que no us
  836.           equivoqueu.
  837.  
  838.                ─────────────────────────────────────────────
  839.                
  840.  
  841.                ─────────────────────────────────────────────
  842.  
  843.           Observeu que F(1)  no es pot definir de cap manera  per evitar la
  844.           discontinuïtat per què,  en desplaçar-se a l'esquerra,  la imatge
  845.           és ______ i al desplaçar-se a la dreta la seva imatge  és ______.
  846.  
  847.           Escriviu el màxim relatiu i els màxims absoluts d'aquesta funció
  848.  
  849.  
  850.                ─────────────────────────────────────────────
  851.                
  852.           Escriviu el mínim relatiu i els mínims absoluts d'aquesta funció
  853.  
  854.  
  855.                ─────────────────────────────────────────────
  856.                
  857.           5. Exemple 20. 
  858.  
  859.           Després d'omplir el model 3 completeu el full amb:
  860.  
  861.           Observeu el que val F(0) = ______
  862.  
  863.           Calculeu el valor del límit  a la dreta  de 0:_____. Observeu que
  864.           el dos resultats són iguals.
  865.  
  866.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 13
  867.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  868.  
  869.  
  870.  
  871.  
  872.           Límits laterals d'una funció
  873.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  874.  
  875.  
  876.  
  877.           Calculeu el  valor del límit a l'esquerra  de  0:_____.  Observeu
  878.           que el resultats.
  879.  
  880.           Quan això passa, el límit és assimptòtic per un costat.
  881.  
  882.           Escriviu el màxim relatiu i els màxims absoluts d'aquesta funció.
  883.  
  884.  
  885.                ─────────────────────────────────────────────
  886.  
  887.           Escriviu el mínim relatiu i els mínims absoluts d'aquesta funció
  888.  
  889.  
  890.                ─────────────────────────────────────────────
  891.  
  892.  
  893.           2.4  
  894.  
  895.  
  896.  
  897.  
  898.  
  899.  
  900.  
  901.  
  902.  
  903.  
  904.  
  905.  
  906.  
  907.  
  908.  
  909.  
  910.  
  911.  
  912.  
  913.  
  914.  
  915.  
  916.  
  917.  
  918.  
  919.  
  920.  
  921.  
  922.  
  923.  
  924.  
  925.  
  926.  
  927.  
  928.  
  929.  
  930.  
  931.  
  932.  
  933.           14 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  934.            Programa d'Informàtica Educativa
  935.  
  936.  
  937.  
  938.  
  939.                                                Límits laterals d'una funció
  940.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  941.  
  942.  
  943.           2.4.1  Model 1
  944.  
  945.           Nom i cognoms de l'alumne:_______________________________________
  946.  
  947.  
  948.           Estudieu l'exemple ____ 
  949.  
  950.           Contesteu  les preguntes en  l'espai  en  blanc,  les indicacions
  951.           sobre  el  funcionament   del  programa  són  les   mateixes  que
  952.           l'exercici-exemple.
  953.  
  954.  
  955.           Quina és la funció que estudieu: F(X)= ──────────────────
  956.  
  957.  
  958.           Quin és el seu domini en l'interval representat:
  959.  
  960.  
  961.                ─────────────────────────────────────────────
  962.  
  963.           Quin és el seu recorregut en l'interval representat:
  964.  
  965.  
  966.                ─────────────────────────────────────────────
  967.  
  968.           Quins són els punts conflictius en aquesta funció:
  969.  
  970.  
  971.                ─────────────────────────────────────────────
  972.  
  973.           Quins són els límits laterals dels punts conflictius que hi ha en
  974.           aquesta gràfica,  utilitzeu tan la  representació  gràfica  de la
  975.           funció com  la possibilitat de  calcular imatges   que us dóna el
  976.           programa. 
  977.  
  978.                ─────────────────────────────────────────────
  979.                
  980.                ─────────────────────────────────────────────
  981.                
  982.                ─────────────────────────────────────────────
  983.                
  984.                ─────────────────────────────────────────────
  985.                
  986.                
  987.           Comproveu,  finalment,  que el vostre resultat  coincideix amb el
  988.           del programa.
  989.  
  990.  
  991.  
  992.  
  993.  
  994.  
  995.  
  996.  
  997.  
  998.  
  999.  
  1000.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 15
  1001.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  1002.  
  1003.  
  1004.  
  1005.  
  1006.           Límits laterals d'una funció
  1007.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1008.  
  1009.  
  1010.           2.4.2  Model 2
  1011.  
  1012.           Nom i cognoms de l'alumne:_______________________________________
  1013.  
  1014.           Estudieu l'exemple ____ 
  1015.  
  1016.           Contesteu  les preguntes en  l'espai  en  blanc,  les indicacions
  1017.           sobre  el  funcionament   del  programa  són  les   mateixes  que
  1018.           l'exercici-exemple.
  1019.  
  1020.  
  1021.           Quina és la funció que estudieu: F(X)= ──────────────────
  1022.  
  1023.  
  1024.           Quin és el seu domini en l'interval representat:
  1025.  
  1026.  
  1027.                ─────────────────────────────────────────────
  1028.  
  1029.           Quin és el seu recorregut en l'interval representat:
  1030.  
  1031.  
  1032.                ─────────────────────────────────────────────
  1033.  
  1034.           Quins són els punts conflictius en aquesta funció:
  1035.  
  1036.  
  1037.                ─────────────────────────────────────────────
  1038.  
  1039.           Quins són els límits laterals dels punts conflictius que hi ha en
  1040.           aquesta gràfica,  utilitzeu tan la  representació  gràfica  de la
  1041.           funció com  la possibilitat de  calcular imatges   que us dóna el
  1042.           programa. 
  1043.  
  1044.                ─────────────────────────────────────────────
  1045.                
  1046.                ─────────────────────────────────────────────
  1047.                
  1048.                ─────────────────────────────────────────────
  1049.                
  1050.                ─────────────────────────────────────────────
  1051.                
  1052.           Comproveu,  finalment,  que el vostre resultat coincideix  amb el
  1053.           del programa.
  1054.  
  1055.           Feu un canvi d'escala i observeu què passa en l'interval ________
  1056.  
  1057.           Escriviu-ho aquí.
  1058.  
  1059.  
  1060.  
  1061.  
  1062.  
  1063.  
  1064.  
  1065.  
  1066.  
  1067.           16 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1068.            Programa d'Informàtica Educativa
  1069.  
  1070.  
  1071.  
  1072.  
  1073.                                                Límits laterals d'una funció
  1074.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1075.  
  1076.  
  1077.           2.4.3  Model 3
  1078.  
  1079.           Nom i cognoms de l'alumne:_______________________________________
  1080.  
  1081.  
  1082.           Estudieu l'exemple ____ 
  1083.  
  1084.           Contesteu  les preguntes en  l'espai  en  blanc,  les indicacions
  1085.           sobre  el  funcionament   del  programa  són  les   mateixes  que
  1086.           l'exercici-exemple.
  1087.  
  1088.  
  1089.           Quina és la funció que estudieu: F(X)= ──────────────────
  1090.  
  1091.  
  1092.           Quin és el seu domini en l'interval representat:
  1093.  
  1094.  
  1095.                ─────────────────────────────────────────────
  1096.  
  1097.           Quin és el seu recorregut en l'interval representat:
  1098.  
  1099.  
  1100.                ─────────────────────────────────────────────
  1101.  
  1102.           Quins són els punts conflictius en aquesta funció:
  1103.  
  1104.  
  1105.                ─────────────────────────────────────────────
  1106.  
  1107.  
  1108.  
  1109.  
  1110.  
  1111.  
  1112.  
  1113.  
  1114.  
  1115.  
  1116.  
  1117.  
  1118.  
  1119.  
  1120.  
  1121.  
  1122.  
  1123.  
  1124.  
  1125.  
  1126.  
  1127.  
  1128.  
  1129.  
  1130.  
  1131.  
  1132.  
  1133.  
  1134.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 17
  1135.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  1136.  
  1137.  
  1138.  
  1139.  
  1140.           Límits laterals d'una funció
  1141.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1142.  
  1143.  
  1144.           3  PART III
  1145.  
  1146.           Destinada al professor que realitza l'experiència.
  1147.  
  1148.           3.1 Anàlisi del programa:
  1149.  
  1150.           El programa és suficientment vàlid per fer el propòsit d'aquestes
  1151.           fitxes.   Cal que el professor que les porti a terme  tingui a mà
  1152.           el petit manual  del programa.  Cal indicar que  en introduir més
  1153.           d'un decimal el programa s'interromp.
  1154.  
  1155.           3.2 Anàlisi del full de pràctiques
  1156.  
  1157.           El temps que cal dedicar a la realització de les diferents fitxes
  1158.           és superior a una hora.  L'espai que s'ha deixat en les preguntes
  1159.           és  suficient per   contestar-les.  Cal deixar  un  espai per què
  1160.           l'alumne hi col.loqui el seu nom.
  1161.  
  1162.           3.3 Anàlisi de l'experiència
  1163.  
  1164.           L'alumne ho fa sense dificultats, una vegada conegut el programa.
  1165.           No acaba de realitzar totes les comprovacions necessàries  amb el
  1166.           programa,   això   comporta   que   algunes   respostes   les  fa
  1167.           incorrectament a ull.
  1168.           És quasi imprescindible fer una sessió  de reforç a l'aula  on el
  1169.           professor farà un seguiment acurat  i detallat del  que es pretén
  1170.           en cada una de les gràfiques que l'alumne es troba  al davant. En
  1171.           aquesta sessió  es  dibuixarà  la  gràfica  a  la  pissarra  i el
  1172.           professor contestarà  totes les preguntes de  la  fitxa, l'alumne
  1173.           haurà d'esmenar la  seva  fitxa i així  s'aconsegueix un objectiu
  1174.           més òptim.
  1175.  
  1176.  
  1177.  
  1178.  
  1179.  
  1180.  
  1181.  
  1182.  
  1183.  
  1184.  
  1185.  
  1186.  
  1187.  
  1188.  
  1189.  
  1190.  
  1191.  
  1192.  
  1193.  
  1194.  
  1195.  
  1196.  
  1197.  
  1198.  
  1199.  
  1200.  
  1201.           18 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1202.            Programa d'Informàtica Educativa
  1203.  
  1204.  
  1205.  
  1206.  
  1207.                                                Límits laterals d'una funció
  1208.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1209.  
  1210.  
  1211.           Notes
  1212.  
  1213.  
  1214.  
  1215.  
  1216.  
  1217.  
  1218.  
  1219.  
  1220.  
  1221.  
  1222.  
  1223.  
  1224.  
  1225.  
  1226.  
  1227.  
  1228.  
  1229.  
  1230.  
  1231.  
  1232.  
  1233.  
  1234.  
  1235.  
  1236.  
  1237.  
  1238.  
  1239.  
  1240.  
  1241.  
  1242.  
  1243.  
  1244.  
  1245.  
  1246.  
  1247.  
  1248.  
  1249.  
  1250.  
  1251.  
  1252.  
  1253.  
  1254.  
  1255.  
  1256.  
  1257.  
  1258.  
  1259.  
  1260.  
  1261.  
  1262.  
  1263.  
  1264.  
  1265.  
  1266.  
  1267.  
  1268.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 19
  1269.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  1270.  
  1271.  
  1272.  
  1273.  
  1274.           Límits laterals d'una funció
  1275.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1276.  
  1277.  
  1278.           Notes
  1279.  
  1280.  
  1281.  
  1282.  
  1283.  
  1284.  
  1285.  
  1286.  
  1287.  
  1288.  
  1289.  
  1290.  
  1291.  
  1292.  
  1293.  
  1294.  
  1295.  
  1296.  
  1297.  
  1298.  
  1299.  
  1300.  
  1301.  
  1302.  
  1303.  
  1304.  
  1305.  
  1306.  
  1307.  
  1308.  
  1309.  
  1310.  
  1311.  
  1312.  
  1313.  
  1314.  
  1315.  
  1316.  
  1317.  
  1318.  
  1319.  
  1320.  
  1321.  
  1322.  
  1323.  
  1324.  
  1325.  
  1326.  
  1327.  
  1328.  
  1329.  
  1330.  
  1331.  
  1332.  
  1333.  
  1334.  
  1335.           20 ───────────────────────────────────────────────────────────────
  1336.            Programa d'Informàtica Educativa
  1337.  
  1338.  
  1339.  
  1340.  
  1341.                                                Límits laterals d'una funció
  1342.           ─────────────────────────────────────────────────────────────────
  1343.  
  1344.  
  1345.  
  1346.  
  1347.  
  1348.  
  1349.  
  1350.  
  1351.  
  1352.  
  1353.  
  1354.  
  1355.  
  1356.  
  1357.  
  1358.  
  1359.  
  1360.  
  1361.  
  1362.  
  1363.  
  1364.  
  1365.  
  1366.  
  1367.  
  1368.  
  1369.  
  1370.  
  1371.  
  1372.  
  1373.  
  1374.  
  1375.  
  1376.  
  1377.  
  1378.  
  1379.  
  1380.  
  1381.  
  1382.  
  1383.  
  1384.  
  1385.  
  1386.  
  1387.  
  1388.  
  1389.  
  1390.  
  1391.  
  1392.  
  1393.  
  1394.  
  1395.  
  1396.  
  1397.  
  1398.  
  1399.  
  1400.  
  1401.  
  1402.           ─────────────────────────────────────────────────────────────── 21
  1403.                                          Programa d'Informàtica Educativa
  1404.  
  1405.  
  1406.  
  1407.