home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter7.2r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  7KB  |  230 lines
  1.  228 
  2. à 7.2èThe Circle
  3.  
  4. äïPlease use the distance formula to find the distance
  5. êêbetween two points.
  6.  
  7. âè Find the distance between the points, (-1, 4) and (3, 1).
  8.  
  9. #êë ┌─────────────────────ë┌──────────────────────
  10. #êdï=ïá(x½ - x¬) + (y½ - y½)ï=ïá(3 - (-1))ì + (1 - 4)ì
  11.  
  12. #êêêè ┌──────ë┌───
  13. #êêê =ïá16 + 9ï=ïá 25ï=ï5
  14. #éSêêêêïGiven two points, (x¬, y¬)
  15. #êêêêëand (x½, y½), it is possible to
  16. êêêêëcomplete a right triangle with ç
  17. êêêêëtwo points as vertices.ïThe third
  18. #êêêêëvertex must be (x½, y¬).ïBy sub-
  19. êêêêëtracting coordinates, the lengths of
  20. @fig7201.bmp,15,25
  21. #the horizontal & vertical sides are found to be (x½ - x¬) and (y½ - y¬).
  22. The third side, d, is then found using the Pythagorean formula.
  23. #ë ┌───────────────────────ë This formula can be used to find
  24. #dï=ïá(x½ - x¬)ì + (y½ - y¬)ìë the distance between any two points.
  25. In the example, the coordinates of the two points, (-1, 4) and (3, 1),
  26. are substituted into this formula and simplified.
  27. #ë ┌──────────────────────ë┌──────ë┌───êïThus, the
  28. #dï=ïá(3 - (-1))ì + (1 - 4)ìï=ïá16 + 9ï=ïá 25ï=ï5èdistance is 5
  29.  1êïFind the distance between the points,
  30. êêêë(4, -6) and (-2, 2).
  31.  
  32. #êêêêêêë ┌─
  33. #ë A)ï14êëB)ï10êëC)ï4∙á3êèD)ïå
  34. ü
  35.  
  36. #êë┌───────────────────────ë┌────────ë┌────
  37. #ë dï=ïá(4 - (-2))ì + (-6 - 2)ìï=ïá 36 + 64ï=ïá 100ï=ï10
  38. Ç B
  39.  2êïFind the distance between the points,
  40. êêêë(-5, 14) and (4, 2).
  41.  
  42. #êë┌─êêï┌─
  43. #ë A)ï9∙á5êèB)ï5∙á2êèC)ï15êëD)ïå
  44. ü
  45.  
  46. #êë┌───────────────────────ë┌─────────ë┌────
  47. #ë dï=ïá(4 - (-5))ì + (2 - 14)ìï=ïá 81 + 144ï=ïá 225ï=ï15
  48. Ç C
  49.  3êïFind the distance between the points,
  50. êêêë(-3, -1) and (4, 6).
  51.  
  52. #êë┌─êêêêë ┌─
  53. #ë A)ï7∙á2êèB)ï6êë C)ï9∙á3êèD)ïå
  54. ü
  55.  
  56. #êë┌────────────────────────ë┌────────ë┌───ê┌─
  57. #ë dï=ïá(4 - (-3))ì + (6 - (-1)ìï=ïá 49 + 49ï=ïá 98ï=ï7∙á2
  58. Ç A
  59. äïPlease use the distance formula to find the equation of
  60. êêthe circle with given center and radius.
  61. âëFind the equation of the circle with center, (3, 2),
  62. êëand radius 5.
  63.  
  64. #êêê (x - h)ì + (y - k)ìï=ïrì
  65.  
  66. #êêê (x - 3)ì + (y - 2)ìï=ï25
  67. êèThis is the equation of the circle in standard form.
  68. éSïTo find the equation of the circle with radius, r, and center,
  69. (h, k), you should first let (x, y) be an arbitrary point on the circle.
  70. Since the circle is the set of all points that are a distance, r, from
  71. the center, (h, k), you can use the distance formula to obtain an
  72. equation of the circle.
  73. #êêêê ┌───────────────────
  74. #êêêïrï=ïá(x - h)ì + (y - k)ì
  75.  
  76. #(Square both sides.)è(x - h)ì + (y - k)ìï=ïrì
  77. This formula gives you the equation of the circle in standard form.
  78. In the example, the radius, 5, and the coordinates of the center, (3, 2),
  79. are substituted into this formula for r, h, and k.
  80. #êêêï(x - 3)ì + (y - 2)ìï=ï25
  81. This is the equation in standard form of the circle with center, (3, 2),
  82. and radius, 5.
  83.  4èFind the equation of the circle with radius, 2, and
  84. êëcenter (-1, 5).
  85.  
  86. #ëA)ï(x - 2)ì + (y + 1)ìï=ï25ëB)ï(x - 5)ì + (y - 1)ì =ï4
  87.  
  88. #ëC)ï(x + 1)ì + (y - 5)ìï=ï4ë D)ïå
  89. ü
  90. #êêêï(x - h)ì + (y - k)ìï=ïrì
  91.  
  92. #êêêï(x + 1)ì + (y - 5)ìï=ï4
  93. Ç C
  94.  5èFind the equation of the circle with radius, 3, and
  95. êëcenter (-4, -5).
  96.  
  97. #ëA)ï(x - 4)ì + (y - 3)ìï=ï25ëB)ï(x + 4)ì + (y + 5)ì =ï9
  98.  
  99. #ëC)ï(x - 4)ì + (y - 5)ìï=ï3ë D)ïå
  100. ü
  101. #êêêï(x - h)ì + (y - k)ìï=ïrì
  102.  
  103. #êêêï(x + 4)ì + (y + 5)ìï=ï9
  104. Ç B
  105.  6èFind the equation of the circle with radius, 7, and
  106. êëcenter (0, 0).
  107.  
  108. #ëA)ïxì + yìï=ï49êêèB)ï(x + 1)ì + (y + 1)ì =ï49
  109.  
  110. #ëC)ï(x - 1)ì + (y - 1)ìï=ï49ëD)ïå
  111. ü
  112. #êêêï(x - h)ì + (y - k)ìï=ïrì
  113.  
  114. #êêêï(x - 0)ì + (y - 0)ìï=ï49
  115.  
  116. #êêêêë xì + yìï=ï49
  117. Ç A
  118. äïPlease complete the square on both variables to find the
  119. êêcenter and radius of the circles.
  120. âê Find the center and radius of the circle,
  121. #êêê xì + yì - 2x + 4y + 1ï=ï0.
  122.  
  123. #êêè xì - 2xë+ yì + 4yë =ï-1
  124. #êêè xì - 2x + 1 + yì + 4y + 4ï=ï-1 + 1 + 4
  125. #êêêè(x - 1)ì + (y + 2)ìï=ï4
  126. êê The center is (1, -2), and the radius is 2.
  127. éSèTo find the center and radius of the circle,
  128. #êêê xì + yì - 2x + 4y + 1ï=ï0,
  129. you should group the x-terms together, group the y-terms together, and
  130. move the constant term to the right side of the equation.
  131. #êêè xì - 2xë+ yì + 4yë =ï-1
  132. To complete the square on x, you should multiply "1/2" times the coeffi-
  133. cient of x and square the result.ïThis number is added to both sides
  134. of the equation and grouped with the x-terms.ïSimilarly, you should
  135. multiply "1/2" times the coefficient of y, square the result, and add
  136. to both sides.
  137. #êêè(xì - 2x + 1) + (yì + 4y + 4)ï=ï-1 + 1 + 4
  138. Now, you should factor the two trinomials and combine terms on the
  139. #right side.êë(x - 1)ì + (y + 2)ìï=ï4
  140. The center is seen to be, (1, -2), and the radius is 2.ïNote, if the
  141. number on the right comes out to be zero, then the graph is just the
  142. center point.ïAlso, if the number on the right comes out to be
  143. negative, then there is no graph.
  144.  7ïIf possible, find the center and radius of the equation,
  145. #êêêxì + yì + 4x - 10y + 20ï=ï0.
  146.  
  147. êè A)ï(-3, 6), r = 4êèB)ïGraph is the point (-2, 5)
  148.  
  149. êè C)ï(-2, 5), r = 3êèD)ïå
  150. ü
  151. #êêêxì + yì + 4x - 10y + 20ï=ï0
  152. #êêèxì + 4xë+ yì - 10yê=ï-20
  153. #êêèxì + 4x + 4 + yì - 10y + 25ï= -20 + 4 + 25
  154. #êêêè (x + 2)ì + (y - 5)ìï=ï9
  155. êê The center is (-2, 5), and the radius is 3.
  156. Ç C
  157.  8ïIf possible, find the center and radius of the equation,
  158. #êêêxì + yì - 6x - 8y + 9ï=ï0.
  159.  
  160. êè A)ï(3, 4), r = 4êè B)ï(-3, -4), r = 3
  161.  
  162. êè C)ïNo graphêêïD)ïå
  163. ü
  164. #êêê xì + yì - 6x - 8y + 9ï=ï0
  165. #êêèxì - 6xë+ yì - 8yê=ï-9
  166. #êêèxì - 6x + 9 + yì - 8y + 16ï= -9 + 9 + 16
  167. #êêêè(x - 3)ì + (y - 4)ìï=ï16
  168. êê The center is (3, 4), and the radius is 4.
  169. Ç A
  170.  9ïIf possible, find the center and radius of the equation,
  171. #êêêxì + yì + 10x - 12y + 61ï=ï0.
  172.  
  173. êè A)ïNo graphêêïB)ïGraph is the point (-5, 6)
  174.  
  175. êè C)ï(5, -6), r = 1êèD)ïå
  176. ü
  177. #êêê xì + yì + 10x - 12y + 61ï=ï0
  178. #êêèxì + 10xë+ yì - 12yê=ï-61
  179. #êêèxì + 10x + 25 + yì - 12y + 36ï= -61 + 25 + 36
  180. #êêêè(x + 5)ì + (y - 6)ìï=ï0
  181. êêë The graph is the point (-5, 6).
  182. Ç B
  183. äïPlease graph the following circles.
  184.  
  185. #âêGraph the circle, (x - 1)ì + (y + 2)ìï=ï4.
  186.  
  187.  
  188. êêêèPlease see Details.
  189.  
  190.  
  191.  
  192. éS
  193.  
  194.  
  195. To graph the circle,
  196. #(x - 1)ì + (y + 2)ìï=ï4, you should
  197. locate the center, (1, -2), on the
  198. coordinate system and draw a new coordinate
  199. system through the center.ïThen, you should
  200. locate the intercepts relative to the new
  201. coordinate system by counting over two units
  202. in each direction.ïThen join the intercepts
  203. with a smooth curve.
  204. @fig7210.bmp,375,100
  205. # 10êêGraph, xì + yìï=ï4.
  206. @fig7204.bmp,28,229
  207. @fig7205.bmp,234,229
  208. @fig7206.bmp,450,229
  209. #üêêêïGraph, xì + yìï=ï4.
  210.  
  211.  
  212.  
  213.  
  214.  
  215. @fig7202.bmp,50,450
  216. Ç B
  217. # 11êèGraph, (x - 2)ì + (y - 3)ìï=ï1.
  218. @fig7207.bmp,25,229
  219. @fig7208.bmp,250,229
  220. @fig7209.bmp,450,229
  221. #üêêè Graph, (x - 2)ì + (y - 3)ìï=ï1.
  222.  
  223.  
  224.  
  225.  
  226.  
  227. @fig7203.bmp,50,450
  228. Ç C
  229.  
  230.