home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter7.1r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  9KB  |  351 lines
  1.  349 
  2. à 7.1ïThe Parabola
  3. äïPlease find the x-intercepts of the following parabolas.
  4. #âïFind the x-intercepts of the parabola, y = xì - 6x + 8.
  5. #êêè xì - 6x + 8ï=ï0
  6. êêï(x - 2)(x - 4)ï=ï0êThe x-intercepts are the
  7. #êêx - 2 = 0ï│ïx - 4 = 0ë points, (2, 0) and (4, 0).
  8. #êêè x = 2ï│ïx = 4
  9. #éSAll equations of the form, y = axì + bx + c, have graphs that are
  10. #parabolas,aƒ0.ïIn Section 7.5, we looked at graphing ç functions by
  11. plotting points.ïIn this section, we are going to look at finding the
  12. intercepts, the axis of symmetry, and the vertex of each of ç
  13. curves.ïVery often finding this additional information reduces the num-
  14. ber of points required to get a graph.ïFirst, we will find the x-inter-
  15. cepts.ïThese are the points where the curve crosses the x-axis.ïThey
  16. are found by setting the function equal to zero and solving for x.
  17. #êêïxì - 6x + 8ï=ï0è ┌─¥ïx - 2 = 0ï│ïx - 4 = 0
  18. #êê(x - 2)(x - 4)ï=ï0 ──┘ê x = 2ï│ïx = 4
  19. #The x-intercepts of the parabola, y = xì - 6x + 8, are (2, 0) and (4,0).
  20.  1êïFind the x-intercepts of the parabola,
  21. #êêêêïyï=ïxì - 4.
  22.  
  23. êèA)ï(-4, 0), (4, 0)êë B)ï(2, 0), (-2, 0)
  24. êèC)ï(1, 0), (0, 4)êêD)ïå
  25. #üêêêèxì - 4ï=ï0
  26. êêêë(x - 2)(x + 2)ï=ï0
  27. #êêêèx - 2 = 0ï│ïx + 2 = 0
  28. #êêêêx = 2ï│ïx = -2
  29. êêïThe x-intercepts are (2, 0) and (-2, 0).
  30. Ç B
  31.  2êïFind the x-intercepts of the parabola,
  32. #êêêëyï=ï-xì + 2x + 3.
  33.  
  34. êèA)ï(0, -3), (0, 1)êë B)ï(1, 0), (-3, 0)
  35. êèC)ï(-1, 0), (3, 0)êë D)ïå
  36. #üêêêxì - 2x - 3ï=ï0
  37. êêêë(x + 1)(x - 3)ï=ï0
  38. #êêêèx + 1 = 0ï│ïx - 3 = 0
  39. #êêêë x = -1ï│ïx = 3
  40. êêïThe x-intercepts are (-1, 0) and (3, 0).
  41. Ç C
  42.  3êïFind the x-intercepts of the parabola,
  43. #êêêëyï=ï6xì + x - 2.
  44.  
  45. êèA)ï(1/2, 0), (-2/3, 0)êïB)ï(-2, 0), (6, 0)
  46. êèC)ï(3, 0), (-6, 0)êë D)ïå
  47. #üêêê6xì + x - 2ï=ï0
  48. êêêè(2x - 1)(3x + 2)ï=ï0
  49. #êêêï2x - 1 = 0ï│ï3x + 2 = 0
  50. #êêêëx = 1/2ï│ïx = -2/3
  51. êêïThe x-intercepts are (1/2, 0) and (-2/3, 0).
  52. Ç A
  53.  4êïFind the x-intercepts of the parabola,
  54. #êêêëyï=ïxì - 2x - 1.
  55. #êêêêêêêï┌─êè┌─
  56. #êèA)ï(-2, 0), (1, 0)êë B)ï(1 + á2, 0), 1 - á2, 0)
  57. êèC)ï(2, 0), (-1, 0)êë D)ïå
  58. #üêêêxì - 2x - 1ï=ï0
  59. #êêë ┌────────────────ê┌─êï┌─
  60. #êë-(-2) ± á(-2)ì - 4∙1∙(-1)è2 ± á8è2 ± 2∙á2ê┌─
  61. #ê x = ───────────────────────── = ────── = ──────── = 1 ± á2
  62. êêê 2∙1êêè2êè2
  63. #êêêêêê┌─êê┌─
  64. #êêïThe x-intercepts are (1 + á2, 0) and (1 - á2, 0).
  65. Ç B
  66.  5êïFind the x-intercepts of the parabola,
  67. #êêêëyï=ïxì - 6x + 9.
  68.  
  69. êèA)ï(1, 0), (-9, 0)êë B)ï(3, 0), (-3, 0)
  70. êèC)ï(3, 0)êêê D)ïå
  71. #üêêê xì - 6x + 9ï=ï0
  72. êêêè(x - 3)(x - 3)ï=ï0
  73. #êêêèx - 3 = 0ï│ïx - 3 = 0
  74. #êêêêx = 3ï│ïx = 3
  75. êêêïThe x-intercept is (3, 0).
  76. Ç C
  77.  6êïFind the x-intercepts of the parabola,
  78. #êêêëyï=ïxì - 2x + 2.
  79.  
  80. êèA)ï(-1, 0), (-2, 0)êëB)ï(1, 0), (2, 0)
  81. êèC)ï(-1, 0), (2, 0)êë D)ïå
  82. #üêêêxì - 2x + 2ï=ï0
  83. #êêë ┌────────────────ê┌──
  84. #êë-(-2) ± á(-2)ì - 4∙1∙(2)è 2 ± á-4è2 ± 2∙i
  85. #ê x = ───────────────────────── = ─────── = ─────── = 1 ± i
  86. êêê 2∙1êêè 2êï2
  87. Since ç are complex solutions, this parabola does not cross the
  88. x-axis, and there are no x-intercepts.
  89. Ç D
  90. äïPlease find the y-intercept of each of the following
  91. êêparabolas.
  92. âêè Find the y-intercept of the parabola,
  93. #êêêë y = xì - 6x + 4.
  94. #êïLet x equal 0.è y = 0ì - 6∙0 + 4
  95. êêêë y = 4
  96. êêê The y-intercept is (0, 4).
  97. éSëThe y-intercept is found by letting x equal zero and solving
  98. #êëfor y.êèy = xì - 6x + 4
  99. #êêêêy = 0ì - 6∙0 + 4
  100. êêêêy = 4
  101. êêêïThe y-intercept is (0, 4).
  102.  7êïFind the y-intercept of the parabola,
  103. #êêêê yï=ïxì - 4.
  104.  
  105. êèA)ï(2, 0), (0, 2)êêB)ï(4, 0)
  106. êèC)ï(0, -4)êêêD)ïå
  107. #üêêêïyï=ïxì - 4
  108. #êêêê yï=ï0ì - 4
  109. êêêê yï=ï-4
  110. êêêïThe y-intercept is (0, -4).
  111. Ç C
  112.  8êïFind the y-intercept of the parabola,
  113. #êêêëyï=ï-xì + 2x + 3.
  114.  
  115. êèA)ï(0, 3)êêê B)ï(0, -3)
  116. êèC)ï(1, 3)êêê D)ïå
  117. #üêêë yï=ï-xì + 2x + 3
  118. #êêêëyï=ï-0ì + 2∙0 + 3
  119. êêêëyï=ï3
  120. êêêïThe y-intercept is (0, 3).
  121. Ç A
  122.  9êïFind the y-intercept of the parabola,
  123. #êêêëyï=ï6xì + x - 2.
  124.  
  125. êèA)ï(0, -2)êêêB)ï(0, -3)
  126. êèC)ï(2, 0)êêê D)ïå
  127. #üêêë yï=ï6xì + x - 2
  128. #êêêëyï=ï6∙0ì + 0 - 2
  129. êêêëyï=ï-2
  130. êêêïThe y-intercept is (0, -2).
  131. Ç A
  132.  10ê Find the y-intercept of the parabola,
  133. #êêêëyï=ïxì - 2x - 1.
  134.  
  135. êèA)ï(-1, 0)êêêB)ï(0, -1)
  136. êèC)ï(0, 1)êêê D)ïå
  137. #üêêë yï=ïxì - 2x - 1
  138. #êêêëyï=ï0ì - 2∙0 - 1
  139. êêêëyï=ï-1
  140. êêêïThe y-intercept is (0, -1).
  141. Ç B
  142.  11ê Find the y-intercept of the parabola,
  143. #êêêëyï=ïxì - 6x + 9.
  144.  
  145. êèA)ï(0, 9)êêê B)ï(0, 3)
  146. êèC)ï(0, -3)êêêD)ïå
  147. #üêêë yï=ïxì - 6x + 9
  148. #êêêëyï=ï0ì - 6∙0 + 9
  149. êêêëyï=ï9
  150. êêê The y-intercept is (0, 9).
  151. Ç A
  152.  12ê Find the y-intercept of the parabola,
  153. #êêêëyï=ïxì - 2x + 2.
  154.  
  155. êèA)ï(0, -2)êêêB)ï(-2, 0)
  156. êèC)ï(0, 2)êêê D)ïå
  157. #üêêë yï=ïxì - 2x + 2
  158. #êêêëyï=ï0ì - 2∙0 + 2
  159. êêêëyï=ï2
  160. êêê The y-intercept is (0, 2).
  161. Ç C
  162. äèPlease find the axis of symmetry for the following
  163. êê parabolas.
  164. #âè Find the axis of symmetry for, y = xì - 6x + 8.
  165. êêêêbê -6ë6
  166. #êêëxï=ï- ──ï=ï- ───ï=ï─ï=ï3
  167. êêêë 2aê2∙1ë2
  168. êè The axis of symmetry is the vertical line, x = 3.
  169. #éSèThe axis of symmetry of the parabola, y = axì + bx + c, is the
  170. vertical line passing through the middle of the parabola exactly half
  171. way between the x-intercepts.ïThe x-intercepts are given by the quadra-
  172. #tic formula.êè┌────────êê┌────────
  173. #êêè-b + ábì - 4acêï-b - ábì - 4ac
  174. #êêè──────────────èandè──────────────
  175. êêê 2aêêê 2a
  176. If ç two intercepts are added and divided by 2, the result is -b/2a.
  177. This gives us a formula for the axis of symmetey,ïx = -b/2a.
  178. #In the example, the axis of symmetry for, y = xì - 6x + 8, is given by
  179. êêêê bê-(-6)ë6
  180. #êêë xï=ï- ──ï=ï- ─────ï=ï─ï=ï3.
  181. êêêê2aê 2∙1ë 2
  182. The axis of symmetry is helpful in drawing graphs of parabolas.ïAny
  183. time you have a point on one side, there must be a corresponding point
  184. on the other side.
  185.  13è Find the axis of symmetry for the parabola,
  186. #êêêê yï=ïxì - 4.
  187.  
  188. êèA)ïx = 0êêêïB)ïx = -4
  189. êèC)ïx = 4êêêïD)ïå
  190. #üêêêïyï=ïxì - 4
  191. êêêêïbê0
  192. #êêêxï=ï- ── =ï- ───ï=ï0
  193. êêêê 2aë 2∙1
  194. êêë The axis of symmetry is x = 0.
  195. Ç A
  196.  14ê Find the axis of symmetry of the parabola,
  197. #êêêêyï=ï-xì + 2x + 3.
  198.  
  199. êèA)ïx = -2êêê B)ïx = -3
  200. êèC)ïx = 1êêêïD)ïå
  201. #üêêë yï=ï-xì + 2x + 3
  202. êêêêèbêï2
  203. #êêê xï=ï- ──ï=ï- ─────ï=ï1
  204. êêêêï2aê2(-1)
  205. êêêïThe axis of symmetry is x = 1.
  206. Ç C
  207.  15ê Find the axis of symmetry for the parabola,
  208. #êêêëyï=ï6xì + x - 2.
  209.  
  210. êèA)ïx = 1êêêïB)ïx = -1/12
  211. êèC)ïx = -2êêê D)ïå
  212. #üêêë yï=ï6xì + x - 2
  213. êêêêèbê 1êï1
  214. #êêê xï=ï- ──ï=ï- ───ï=ï- ──
  215. êêêêï2aê2∙6ê12
  216. êêêïThe axis of symmetry is x = -1/12.
  217. Ç B
  218.  16ê Find the axis of symmetry for the parabola,
  219. #êêêëyï=ïxì - 2x - 1.
  220.  
  221. êèA)ïx = 2êêêïB)ïx = -2
  222. êèC)ïx = 1êêêïD)ïå
  223. #üêêë yï=ïxì - 2x - 1
  224. êêêêïbê -2
  225. #êêêxï=ï- ──ï=ï- ───ï=ï1
  226. êêêê 2aê2∙1
  227. êêë The axis of symmetry is x = 1.
  228. Ç C
  229.  17ê Find the axis of symmetry for the parabola,
  230. #êêêëyï=ïxì - 6x + 9.
  231.  
  232. êèA)ïx = 6êêêïB)ïx = 3
  233. êèC)ïx = -3êêê D)ïå
  234. #üêêë yï=ïxì - 6x + 9
  235. êêêêïbê -6
  236. #êêêxï=ï- ──ï=ï- ───ï=ï3
  237. êêêê 2aê2∙1
  238. êêê The axis of symmetry is x = 3.
  239. Ç B
  240.  18ê Find the axis of symmetry for the parabola,
  241. #êêêëyï=ïxì - 2x + 2.
  242.  
  243. êèA)ïx = 1êêêïB)ïx = -3/4
  244. êèC)ïx = 3/2êêêD)ïå
  245. #üêêë yï=ïxì - 2x + 2
  246. êêêêïbê -2
  247. #êêêxï=ï- ──ï=ï- ───ï=ï1
  248. êêêê 2aê2∙1
  249. êêê The axis of symmetry is x = 1.
  250. Ç A
  251. äïPlease find the vertex of each of the following parabolas.
  252. #âêè Find the vertex of y = xì - 6x + 8.
  253. êêêêêëbê-6
  254. # vertexï=ï(-b/2a, f(-b/2a)),è1)ï- ──ï=ï- ───ï=ï3
  255. êêêêêè 2aê2∙1
  256. #êêêêë2)ïf(3)ï=ï3ì - 6∙3 + 8ï=ï-1
  257.  
  258. êêêè The vertex is (3, -1).
  259. éSïThe vertex of a parabola is the lowest (or highest) point on
  260. the curve.ïSince the axis of symmetry passes through the vertex, the
  261. first coordinate of the vertex must be, -b/2a.ïThe second coordinate
  262. is f(-b/2a).
  263. êêëVertexï=ï(-b/2a, f(-b/2a))
  264. #In the example, y = xì - 6x + 8, the first coordinate of the vertex is
  265. -b/2a = 3.ïThe second coordinate is f(3) or y evaluated at 3.
  266. #êêêêyï=ï3ì - 6∙3 + 8
  267. êêêêè yï=ï-1
  268. #Thus, the vertex of, y = xì -6x + 8, is (3, -1).
  269. # 19êèFind the vertex of, y = xì - 4.
  270.  
  271. êêA)ï(0, -4)êêè B)ï(-2, 4)
  272. êêC)ï(2, 4)êêëD)ïå
  273. #üêêêèyï=ïxì - 4
  274. êêFirst coordinateêïSecond coordinate
  275. êê bê 0
  276. #êë- ──ï=ï- ───ï=ï0,ë yï=ï0ì - 4ï=ï-4
  277. êê2aê2∙1
  278. êêêèThe vertex is (0, -4).
  279. Ç A
  280. # 20ê Find the vertex of, y = -xì + 2x + 3.
  281.  
  282. êêA)ï(2, -3)êêè B)ï(-1, 5)
  283. êêC)ï(1, 4)êêëD)ïå
  284. #üêêêyï=ï-xì + 2x + 3
  285. êêFirst coordinateêëSecond coordinate
  286. êê bêï2
  287. #êë- ──ï=ï- ──────ï=ï1,ë yï=ï-1ì + 2∙1 + 3ï=ï4
  288. êê2aê2∙(-1)
  289. êêêèThe vertex is (1, 4).
  290. Ç C
  291. # 21ê Find the vertex of, y = 6xì + x - 2.
  292.  
  293. êêA)ï(-1/2, -49/24)êè B)ï(-1, 4)
  294. êêC)ï(3, 2)êêëD)ïå
  295. #üêêêyï=ï6xì + x - 2
  296. êè First coordinateêê Second coordinate
  297. êëbêï1êè 1êê 49
  298. #êï- ──ï=ï- ──────ï=ï- ──,ë yï=ï- ──
  299. êè 2aê2∙(6)ê 12êê 24
  300. êêêThe vertex is (-1/12, -49/24).
  301. Ç A
  302. #F 22êê Graph, yï=ïxì - 4.
  303. A) 1,0,4
  304. B) 1,0,-4
  305. C) 1,-4,4
  306. D) 1,4,4
  307. #üè Graph, yï=ïxì - 4
  308.  
  309. x-intercepts (2,0),(-2,0)
  310. y-intercept (0,-4)
  311. axis of symmetry x = 0
  312. vertexï(0,-4)
  313. Ç B
  314. #F 23êëGraph, yï=ï-xì + 2x + 3.
  315. A) 1,-2,3
  316. B) 1,0,3
  317. C) -1,2,3
  318. D) 1,0,-3
  319. #üè Graph, yï=ï-xì + 2x + 3
  320.  
  321. x-intercepts (-1,0),(3,0)
  322. y-intercept (0,3)
  323. axis of symmetry x = 1
  324. vertexï(1,4)
  325. Ç C
  326. #F 24êëGraph, yï=ï6xì + x - 2.
  327. A) 6,1,-2
  328. B) -6,-1,2
  329. C) 1,-2,0
  330. D) -1,2,0
  331. #üè Graph, yï=ï6xì + x - 2
  332.  
  333. x-intercepts (1/2,0),(-2/3,0)
  334. y-intercept (0,-2)
  335. axis of symmetry x = -1/12
  336. vertexï(-1/12, -49/24)
  337. Ç A
  338. #F 25êëGraph, yï=ïxì - 2x - 1.
  339. A) -1,2,1
  340. B) 1,0,0
  341. C) 1,-2,-1
  342. D) -1,4,-4
  343. #üè Graph, yï=ïxì - 2x - 1
  344. #êêï┌─ê┌─
  345. #x-intercepts (1+á2,0),(1-á2,0)
  346. y-intercept (0,-1)
  347. axis of symmetry x = 1
  348. vertexï(1, -2)
  349. Ç C
  350.  
  351.